= dz。假设变形后P，A，C分别移动到P，A，C。
6/3/2020
• 由几何变形关系，可求得线段PA的正应变 r 为
(dr u u d r u) d r
r
P
A PA PA
r dr
u r
• 线段PC的正应变 z 为
w
(d z w d z w) d z
z
P
C PC
PC
z
dz
zr
(2-3)
或写成
r
E
1
( r
1 2
e)
E
1
(
1 2
e)
z
E
1
( z
1 2
e)
(2-4)
zr
E 2(1
) zr
6/3/2020
对于承受均匀内、外压的厚壁圆筒，若筒 体的几何形状、载荷、支承情况沿z轴没有 变化，所有垂直于轴线的横截面在变形后
仍保持为平面，则 zr 0， zr 0 ，即
（2-11）
6/3/2020
将上式代入平衡方程式，得
d2 u dr 2
1 r
du dr
u r2
0
d2 w dz2 0
它的通解为
u
c1r
c2 r
式中 c1,c2为积分常数
（2-12） （2-13）
6/3/2020
将式（2-13）代入式（2-11），得到
r
c3
c4 r2
c3
Ro2 po Ri2
Ri2 Ro2 ( pi po ) (Ro2 Ri2 )r 2
（2-16）
即为著名的拉美（ Lame） 方程式。
6/3/2020
轴向应力 z、轴向应变 z和径向位移分量
u，根据端部支承条件不同，分两种情况讨
论：
（1）两端不封闭(开口)的筒体(如炮筒，热套 的筒节等）
轴向变形无约束，轴向应力为零，即
z 0
（2-17）
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由式（2-14）的第三式及式（2-15），并代
入 、c3 c4值，得
z
2
E
c3
2
E
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c1
1
E
c3
1
E
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c2
1
E c4
1
E
Ri2 Ro2 ( pi po ) Ro2 Ri2
第二章 厚壁圆筒的弹 塑性应力分析
6/3/2020
第一节 厚壁圆筒的弹性应力分析
如图所示的内半径为 Ri ，外半径为 R0 的厚壁圆柱 形筒体，承受内压为 p，i 外压为 。p0
6/3/2020
在P点处用相距d r的两个同心圆柱面，互成
d角的两个相邻纵截面及相距d z的两个水
平面截取一个微小扇形六面体，如下图所 示。
r
6/3/2020
P'B' PB PB
(r
u) d r d r d
u r
6/3/2020
由此，空间轴对称的几何方程为
r
u r
u r
z
w r
rz
w
r
u z
(2-2)
6/3/2020
３．物理方程
r
1 E
r
(
z
)
1 E
( r
z )
z
1 E
z
( r
)
zr
2(1 E
)
c4 r2
z 2c3 E Z
式中
c3
E 1
Z 1
c1 2
E c4 1 c2
（2-14）
（2-15）
6/3/2020
当厚壁圆筒同时承受均匀内压 pi 和均匀外 压 po 时，其边界条件为
r Ri , r pi r R0, r p0
（a）
将边界条件代入式（2-14），得
6/3/2020
一、 厚壁圆筒 基本方程
1．平衡方程
6/3/2020
Fr 0
( r
r r
d r)(r
d
r) dd
z
rr
d d
z
2 d
r
d
z sin
d
2
( zr
zr z
dz)r
d
r
d
zrr
d
r
d
Krr
d
r
d
d
z
0
Fz 0
(
z
z z
d z)r dd r
zr dd r
(
rz
rz r
dr)(r
只决u 定于r， 只决w定于z。
6/3/2020
则平衡方程（不计体力）为
dr r 0
dr
r
dz 0
(2-5)
dz
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几何方程为
r
du , dr
u, r
z
dw dz
变形协调方程
d
dr
1(du r dr
u) r
1 r
(
r
)
(2-6)
(2-7)
6/3/2020
物理方程 或写成
6/3/2020
w
z
• PA和PC间的直角变化，即剪应变为
rz
1
2
w r
u z
6/3/2020
在r- 的平面内，沿r和方向取微元线段PA = d r，PB = rd，变形后，P，A，B分别移 动到P，A，B。由于对称性，P点和B点移
到P点和B的位移分量均为 ，u A点移到A
点的位移分量为 u u d r
（c）
6/3/2020
将 c1 、 c2 值代入式（2-13），得两端开口
的厚壁圆筒的位移表达式
u
1
E
(Ri2 pi Ro2 po )r Ro2 Ri2
1
E
Ri2 Ro2 ( pi po ) (Ro2 Ri2 )r
（2-18）
6/3/2020
（2）两端封闭的筒体（筒体端部有端盖） 轴向应力由轴向平衡条件求得
c3
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
c4
Ri2 Ro2 ( pi po ) Ro2 Ri2
（b）
6/3/2020
将 c3 、c4 值代入式（2-14），得
r
Ri2 pi Ro2
Ro2 po Ri2
Ri2 Ro2 ( pi po ) (Ro2 Ri2 )r 2
Ri2 pi Ro2
r
1 E
r
(
z )
1 E
( r
z )
z
1 E
z
( r
)
r
E
1
( r
1 2
e)
E
1
(
1 2
e)
z
E
1
( z
1 2
e)
(2-8) (2-9)
由式（2-8）可得到
r
1
E
(
r
)
d 1 (d d r )
dr E dr
dr
将以上两式代入式（2-7），得到以应力分量表示的变 形协调方程
d
dr
d r
dr
1
r
(
r
)
(2-10)
6/3/2020
二、厚壁圆筒的应力和位移解
本节采用位移法求解在均匀内、外压作用下的厚壁 圆筒。将几何方程式代入物理方程式，得出用位移 分量表示的物理方程
r
E
1
( du dr
1 2
e)
E (u
1 r
e) 1 2
z
E
1
(d w dz
1 2
e)
d r) d
dz
rzr d d z Kzr d r d d z 0
6/3/2020
因为 d值很小, 可取 去高阶微量，得
sin d
2
d，化简并略
2
r r
zr z
r
r
Kr
r
Kz
0
(2-1)
6/3/2020
２. 几何方程
在r - z平面内，沿r和z方向取微小长度PA = dr，PC