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统计学之假设检验与方差分析

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❖ 【例6-3】假定,根据例6-2的结果,计算该问题的 P-值,并做出判断。
解:查标准正态概率表,当z=2.29时,阴影面积为 0.9890,尾部面积为1–0.9890=0.011,由对称性可 知,当z= –2.29时,左侧面积为0.011。
0.011≤α/2=0.025
0.011这个数字意味着,假若我们反复抽取 n=100的样本,在100个样本中仅有可能出现一个使 检验统计量等于或小于–2.29的样本。该事件发生的 概率小于给定的显著性水平,所以,可以判断 μ=150的假定是错误的,也就是说,根据观测的样6-14 本,有理由表明总体的与150克的差异是显著存在
净重1x50克的技术标准控制操作。现从生产线
抽取简单随机样本n=100袋,测得其平均重 量为 =149.8克,样本标准差s=0.872克。 问该生产线的装袋净重的期望值是否为150克 (即问生产线是否处于控制状态)?
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❖ 所谓假设检验,就是事先对总体的参数 或总体分布形式做出一个假设,然后利用抽 取的样本信息来判断这个假设(原假设)是 否合理,即判断总体的真实情况与原假设是 否存在显著的系统性差异,所以假设检验又 被称为显著性检验。
❖ (二)临界值规则
假设检验中,还有另外一种做出结论的方法:
根据所提出的显著性水平标准(它是概率密度曲线
的尾部面积)查表得到相应的检验统计量的数值,
称作临界值,直接用检验统计量的观测值与临界值
作比较,观测值落在临界值所划定的尾部(称之为
拒绝域)内,便拒绝原假设;观测值落在临界值所
划定的尾部之外(称之为不能拒绝域)的范围内,
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【例 6-2】构造例 6-1 的检验统计量,并计算相应的
样本观测值。
解: H0 : 150 , H1 : 150 。 由于咖啡的分袋包装生产线的装袋重量服从正态
分布,所以其简单随机样本的均值 x 也服从正态分
布。我们把 x标准化成为标准正态变量
Z x E(x) ~ N (0 , 1) V (x)
则认为拒绝原假设的证据不足。这种做出检验结论
的方法,我们称之为临界值规则。
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❖ 显然,P-值规则和临界值规则是等价的。在 做检验的时候,只用其中一个规则即可。
❖ P-值规则较之临界值规则具有更明显的优点。 这主要是:第一,它更加简捷;第二,在值 规则的检验结论中,对于犯第一类错误的概 率的表述更加精确。
❖ 推荐使用P-值规则。
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❖ 【例6-4】假定,根据例6-2的结果,用临界 值规则做出判断。
H1:150。 6-7
三、检验统计量
❖ 所谓检验统计量,就是根据所抽取的样本计 算的用于检验原假设是否成立的随机变量。
❖ 检验统计量中应当含有所要检验的总体参数, 以便在“总体参数等于某数值”的假定下研 究样本统计量的观测结果。
❖ 检验统计量还应该在“H0成立”的前提下有 已知的分布,从而便于计算出现某种特定的 观测结果的概率。
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一个完整的假设检验过程,包括以下几个步 骤: ❖ (1)提出假设; ❖ (2)构造适当的检验统计量,并根据样本计
算统计量的具体数值; ❖ (3)规定显著性水平,建立检验规则; ❖ (4)做出判断。
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❖ 原假设二一、般用原H假0表设示,与通备常是择设假定设总体参数
等于某值,或服从某个分布函数等;备择假 设是与原假设互相排斥的假设,原假设与备 择假设不可能同时成立。所谓假设检验问题 实 设H质0上,就则是意要味判着断接H受0是备否择正假确设,H若1 。拒绝原假 ❖ 如在例6-1中,我们可以提出两个假设:假设 平均袋装咖啡重量与所要控制的标准没有显 著差异,记为 H0:150;假设平均袋装咖啡 重量与所要控制的标准有显著差异,记为
(6.1)
由第五章可知,E( x )= 。由于原假设是
=150,在原假设为真时,式(6.1)可以写作
Z x 150 ~ N (0 , 1) V (x)
(6.2) 6-9
仍然由第五章可知,V( x )=σ2/n,以及
t x 150 ~ t(n 1) s2 n
(6.3)
式(6.3)中的 t 就是本例所要构造的检验统计量。
❖ 在假设检验中,我们做出判断时所依据的逻 辑是:如果在原假设正确的前提下,检验统 计量的样本观测值的出现属于小概率事件, 那么可以认为原假设不可信,从而否定它, 转而接受备择假设。
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❖ 至于小概率的标准是多大?这要根据实际问 题而定。假设检验中,称这一标准为显著性 水平,用来表示α,在应用中,通常取α=0.01, α=0.05。一般来说,犯第一类错误可能造成 的损失越大,α的取值应当越小。
❖ 对假设检验问题做出判断可依据两种规则: 一是P-值规则;二是临界值规则。
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❖ (一)P-值规则 所谓P-值,实际上是检验统计量超过(大
于或小于)具体样本观测值的概率。如果P-值
小于所给定的显著性水平,则认为原假设不 太可能成立;如果P-值大于所给定的标准, 则认为没有充分的证据否定原假设。
统计学导论
曾五一 肖红叶 主编
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第六章 假设检验与方差分析
❖ 第一节 假设检验的基本原理 ❖ 第二节 总体均值的假设检验 ❖ 第三节 总体比例的假设检验 ❖ 第四节 单因子方差分析 ❖ 第五节 双因子方差分析 ❖ 第六节 Excel在假设检验与方差分析
中的应用
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第一节 假设检验的基本原理
由于t 分布在自由度 30情形下可用标准正态分布来
近似,而本例中 n=100,自由度 n―1 远大于 30,故式
(6.3)近似服从标准正态分布。根据样本数据计算
z 149.8 150 2.29 0.8722 100
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四、显著性水平、P-值与临界值
❖ 小概率事件在单独一次的试验中基本上不会 发生,可以不予考虑。
❖ 一、什么是假设检验 ❖ 二、原假设与备择假设 ❖ 三、检验统计量 ❖ 四、显著性水平、P-值与临界值 ❖ 五、双侧检验和单侧检验 ❖ 六、假设检验的两类错误 ❖ 七、关于假设检验结论的理解
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一、什么是假设检验
❖ 【例6-1】假定咖啡的分袋包装生产线的装袋 重量服从正态分布N(μ,σ2)。生产线按每袋
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