D1
B1
τx
f
τx
τy
σy
C
y
D2
x
图 9-4
（4）利用应力圆求主应力
σ2
数值和主平面位置
主应力数值
o
A2 B2
C
A1和 A2两点为与主平面 对应的点，其横坐标
y
D2
σx
σ1
为主应力 1 ,2
D1
B1 A1
OA1 OC CA1 OA2 OC CA1
圆周上 E 点的 ¸ 坐标 就依次为 ¸ 。（ 证明略 ）
说明
点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。
夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。
B1
2
A1
A
B
o
c
σy τy
σx e
σα
(b)
E
σx
o τα
B2
2
一、斜截面上的应力 1、 截面法: 假想地沿斜截面 ef 将单元体截分为二(图9-2b) , 留下左边部分的单体元 ebf 作为研究对象(图9-2c)。
e
x
x
y
y
y
n
x
x
x
e
x x
b
f
y
y
图9-2
b
f
y
y
e
x
x
y
y
y
n
x
x
x
b
f
y
y
图9-2
e
x x
b
f
y
y
：从x 轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。 正应力 ：拉应力为正，压应力为负。 剪应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。
2
(
x
2
y
)2
2 x
当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 σα , τ α 在
- 直角坐标系内的轨迹是一个圆 ,圆心位于横坐标轴
(
轴
)上,离原点的距离为
x
y
2
半径为
此圆习惯上称为应力圆 , 或称为莫尔圆。
(
x
2
y
)2
2 x
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
o
C
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 x
{ σ max =
σ min
26
MPa -96
A
x
3
1
σ1 26MPa σ 2 0 σ 3 96MPa
四、平面应力状态分析——应力圆
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2
（1） 应力圆的概念
(9 -1) (9 - 2)
(
x
y )2
2
2
(
x
2
y )2
2 x
(
x
2
y
)2
(b)
D1
B1
连接D1D2两点的直线与 轴相交于C 点, 以C为 圆心, CD1或CD2为半径 作圆
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
(b)
D1
o
B2
B1
C
y
D2
x
图 9-4
该圆的圆心 C 点到 坐标
原点的 距离为 x y
2
o
B2
(b)
D1
B1
半径为
(
x
2
y
)2
2 x
C
y
D2
该圆就是相应于该单元体
由公式
tg
2α
0
σ
2τ xy
x σ
y
求出0就可确定主平面的位置。
（1）主应力 将0代入公式
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos 2α
τ
xy sin 2α
得到 max 和 min(主应力）
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
（2）主平面的位置
tg
2α
0
σ
2τ xy
x σ
,则 α1
450 450
(τ x 0) (τ x 0)
例8-4 简支梁如图所示。已知m-n截面上A点的弯曲
正应力和剪应力分别为 = -70MPa， = 50MPa 。 确定A点的主应力及主平面的方位。。
m
n a
l
A
A
解： x 70 y 0 x 50
解：
σ x 70 σ y 0 τ xy 50
x
2
y
x
2
y
cos 2
x
sin
2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
(9 -1) (9 - 2)
二、主应力和主平面
主平面: 一点处剪应力等于零的平面称为主平面 主应力: 主平面上的正应力称为主应力
说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直
的面均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为 1 ,2 , 3
σ x σ y
2
图 9-3
（2）应力圆作法
在 - 坐标系内 ,
选定比例尺 o
量取 OB1 = x , B1D1 = x
, 得 D1点
x
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
(b)
D1
B1
量取 OB2=y , B2D2= y ,
得D2 点
o
B2
σy τy
σx
σx
τx
τx
τy
σy
y
D2
x
图 9-4
x σ
y
α1 α 2 α1 900
α1 和 α 2 确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力
所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
x
y
2
x
y
2
cos 2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
d d
2[
x
2
y
sin
2
x
cos 2 ]
0
当即正应力达到极值的面上，剪应力必等于零。 此平面为主平面。正应力的极值为主应力。
x
应力状态的应力圆
D1 点的坐标为 ( x , x ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面上的应力 。
σα
σy τy
e
σx
σx
E
o τα
B2
2
D1B1 CΒιβλιοθήκη xτxf τx
τy
σy
y
D2
x
（3）利用应力圆求单元体上任一 截面上的应力 从应力圆的半径 CD 1 按方位角 的转向转动 2 , 得到半径 CE ,
且规定按代数值大小的顺序来排列, 即
2 1
1 2 3
3
三、平面应力状态分析——解析法
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
令
dσ α
dα
2[σ
x
σy 2
sin 2α
τ
xy cos 2α
]
0
得到
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σy
α1 α 2 α1 900
tg
2α
0
σ
2τ xy
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x
σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
{ 若 σ x σ y
tg
2α
0
σ
2τ xy
x σ
y
2 50 1.429 (70) 0
x A
62.50
27.5 0 α 0 62.50
因为 σ x σ y
-62.50 与max对应
} { σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
2
y)
τ
2 xy
26 MPa
-96
27.5 0 α 0 62.50
设斜截面的面积为 dA , eb 的面积为 dAcos ， bf 的面积为dAsin 研究对象的受力如图 9-2d 所示
e
x x
b
f
y
y
e
τ x dAcosα
σ x dAcosα
σα dA
τ α dA
b
f
τ y dAsinα
(d)
σ y dAsinα
2、平面应力状态下, 任一斜截面 ( 截面 ) 上的应力 ¸ 的 计算公式