解： s x 100 MPa t x 60 MPa s y 50 MPa a 30
(-100 50) MPa (-100 50) MPa cos(-60 ) 2 2 (-60 MPa)sin(-60 ) -114.5 MPa ( 100 50) MPa sin(60 ) ( 60 MPa)cos( 60 ) 35.0 MPa 2
t a (s x s y )sinacosa t x cos 2a t ysin 2a
由于tx 与 tx 数值相等,并利用三角函数的变换关系,得
sa
ta
s x s y s x s y
2 s x s y 2 2
cos2a t x sin2a
sin2a t x cos2a
2
应力圆的绘制与应用
绘制应力圆
sC
s x s y
2
－ 圆心横坐标
图解法求斜截面应力
2 2 s H OC CD cos2a 0cos2a CD sin2a 0sin2a s x s y s x s y sH cos2a t x sin2a s a 2 2 同理可证： t H t a
上述关系式是建立在静力学基础上，因而所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异 性、非线弹性与非弹性问题
例题
例 2-1 试计算截面 m-m 上的应力
s x s y s x s y sa cos2a t x sin2a 2 2
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sinacosa t a (s x s y )sinacosa t x cos 2a t ysin 2a
s a s x cos 2a s ysin 2a (t x t y )sinacosa
2
ta 0
s x s y
2
应力圆
2
sin2a t x cos2a
2
s x s y 2 s x s y 2 s t 0 t a x a 2 2 s x s y sC 2
s x s y 2 R t x 2
问题：试建立 sa, ta 与 sx, tx, sy, ty 间的关系
斜截面应力公式
Fn 0， s a dA (t x dAcosa )sina - (s x dAcosa )cosa (t ydAsina )cosa - (s ydAsina )sina 0 Ft 0， t a dA (t x dAcosa )cosa - (s x dAcosa )sina (t ydAsina )sina (s ydAsina )cosa 0
材料力学（ Ⅰ） 单辉祖 编著
第 7 章 应力、应变状态分析 本章主要研究： 应力状态分析基本理论 应变状态分析基本理论 应力应变一般关系 应变能分析计算

第 7 章 应力、应变状态分析
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 §9
引言 平面应力状态应力分析 应力圆 平面应力状态的极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力
sm
tm
§3 应力圆
应力圆
应力圆的绘制与应用 例题
应力圆
sa s x s y s x s y
2 2 cos2a t x sin2a
ta
s x s y
2
sin2a t x cos2a cos2a t x sin2a
sa
s x s y
2
s x s y
平面应变状态应变分析
各向同性材料的应力应变关系 复杂应力状态下的应变能
复合材料的应力应变关系简介
§1 引言
实例
应力与应变状态 平面与空间应力状态
实例
微体A
微体abcd
微体A
应力与应变状态
应力状态 通过构件内一点，所作各微截面的应力状况，称为 该点处的应力状态 应变状态 构件内一点在各个不同方位的的应变状况，称为该 点处的应变状态 研究方法 环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋 于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应 力与应变状态 研究目的 研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件 的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础
平面与空间应力状态
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态 微体各侧面均作用有 应力－空间应力状态 空间应力状态一般形式
平面应力状态 的一般形式
§2 平面应力状态应力分析
斜截面应力分析 例题
斜截面应力分析
问题
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa, ta 符号规定： 切应力 t － 以企图使微体沿 旋转者为正 方位用 a － 以 x 轴为始边、 者为正
t max t min
s x s y 2 t x 2
tx tx s x s min s max s y
s x s y s x s y s a s H OC CD cos(2 cos2 t)x sin2a a0 a 2 a
点、面对应关系
转向相同，转角加
例 3-1 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解：
s m 115 MPa
t m 35 MPa
§4 平面应力状态的极值应力与主应力
平面应力状态的极值应力
主平面与主应力 纯剪切应力与扭转破坏 例题
平面应力状态的极值应力
s max s x s y s x s y 2 t x s min 2 2
2t x tan2a 0 s x s y tana 0