横力弯曲
FN
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分析 的结果表明：同一面上不同点的应力各 不相同，此即应力的点的概念。
8—1 应力状态的概念
直杆拉伸
F F
k

k k
F

{
p cos cos2
p sin cos sin sin 2 2
到斜截面外法线时为正；反 之为负。

y
t
8-2 平面应力状态分下任意斜截面上的应力解析法
例8-1 某单元体上的应力情 况如图所示，a-b截面上的 正应力和切应力。 解：首先列出应力名称及数值：
x 80MPa xy 20 MPa y 40 MPa 30
a-b面上的正应力和切应力分别为：
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
8—3 主应力和极值切应力
y
xy
主平面的方位：
tg 2 0
2 xy
x
x y 60 0.6 60 40
0 15.5 ,
代入 表达式可知
0 15.5 90 105.5
（8-2）
平面应力状态下任意斜截面上的正应力和切应力计算公式， 适用于所有平面应力状态。 主应力
8-2 平面应力状态分下任意斜截面上的应力解析法
2.正负号规则
y
x

yx
xy
正应力：拉为正；压为负
x
y
a
a
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
x
xy
α
yx
n
x
α角：由x 轴正向逆时针转
2、扭转
8—1 应力状态的概念
二、应力状态的研究方法及分类
3、弯曲
扭转 弯曲 拉伸 应力状态均位于平行平面内
平面应力状态
空间应力 状态
8—1 应力状态其它分法
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零
（2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
min
max
y 0
（Ⅰ）
x 2 x 2
2
M x y IZ
FSSZ x IZb
8-4平面应力状态下的几种特殊情况
例8-3 受扭圆杆如图，已 知杆的直径d=50mm， Me=400Nm。试求1-1截 面边缘处A点的主应力。 解：计算A点的主应力按下列步骤进行： （1）首先围绕A点截取一单元体并标明单元体各 面上的应力情况。从A点截出的单元体如图所示。
tan 21 x y 2 xy
sin 2 xy cos 2
（8-5）
同样，在α1、α1+90o方位角处，有两个极值

max min
x y 2 2 xy
2
（8-6）
8-4平面应力状态下的几种特殊情况
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 1 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2
二、扭转
特点：
x 0
y 0
（Ⅰ）
x sin 2
x cos 2
主' x
min
max
主'' x T x x IP
8-4平面应力状态下的几种特殊情况
三、弯曲 特点：
x x cos 2 x sin 2 2 2 x sin 2 x cos 2 2 x x 2 2 x x 2 2 主' ( ) xy 主 ' ( ) xy 2 2 2 2
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 (80 40) (80 40) ( cos 60 o 20 sin 60 o )MPa 67.3MPa 2 1 2 ( x y ) sin 2 xy cos 2 2 均为正 (80 40) o o ( sin 60 20 cos 60 )MPa 41.9MPa 2
tan 2 0 2 xy
x y
（8-3）
由上式可以确定出主平面位置。
tan 2( 0 90 o ) tan 2 0
由8-3可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 平面应力状态下，任一点处一般均存在两个不为 0的主应力。
8—3 主应力和极值切应力
8-4平面应力状态下的几种特殊情况
例8-4 一矩形截面简支梁，求1-1 截面1、2、3、4、5点单元体应 力情况并标出各应力的方向。
8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力
定义
2
1
3
三个主应力都不为零的应力状态
主平面：切应力为零的平面 1 2 3 主应力：主平面上的正应力 三个主应力分别用σ1、 σ2 、 σ3表示，其中,
确定正应力极值
( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2
d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
1 2 1 2
设
' 时，上式值为零，即
主应力与极 2 xy tan 2' ' 0 值所在平面 x y 一致。 任一点的主应力值是过该点的各截面上正应力中的 极值，其中，一个为极大值，一个为极小值。
xy是1-1截面上A点的切应力，其值为
xy Me T 400 N m 16.3MPa 3 WP d 0.053 m3 16 16
（2）计算单元体上的应力。
（3）按主应力公式计算主应力。
主 ' x 16.3MPa 主'' x 16.3MPa
主'
主 ''
x y 2
x y 2
x y 4 2 xy 2
x y 2
2
2
（Ⅰ）
4 2 xy
2

max min
x y 2 xy 2
( x y ) sin 2'2 xy cos 2' 0
8—3 主应力和极值切应力
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知
x 60 MPa， xy 30MPa,
y 40 MPa, 30。
y
xy

试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力
1 2 3
例：求三个主应力
1 40 MPa, 2 50 MPa, 3 60 MPa
8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力
最大切应力计算公式：
max
1 2 2
（8-7）
如计算右图最大切应力：
第8章 应力状态和强度理 论
第8章
应力状态和强度理论
8-1 应力状态的概念 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的 应力 8-3 主应力和极值切应力 8-4平面应力状态下的几种特殊情况 8-6 空间应力状态下任一点的主应力 和最大切应力 8-7 广义胡克定律 8-8 强度理论
8—1 应力状态的概念
k
p
直杆拉伸应力分析结果表明：即 使同一点不同方向面上的应力也是各 不相同的，此即应力的面的概念。
应力状态研究 一点处的位于各个界面上的 应力情况及变化规律
8—1 应力状态的概念
二、应力状态的研究方法及分类
点的应力状态是通过单元体来 研究的。单元体——围绕某点截取的 直角六面体。
1、轴向拉伸
58.3MPa
8—3 主应力和极值切应力
（2）主应力、主平面
y
xy

x y x y 2 2 主' ( ) xy 2 2
68.3MPa
x x y ( x y ) 2 2 主'' xy 2 2
48.3MPa
列平衡方程
F
x α
a
n
n
0
dA xy (dAcos ) sin x (dAcos ) cos yx (dAsin ) cos y (dAsin ) sin 0
xy
a
dA
yx
y
t
F 0
t
dA xy (dAcos ) cos x (dA cos ) sin yx (dAsin ) sin y (dAsin ) cos 0
3.主应力的计算公式
如前所述，最大和最小正应力分别为：
主' x y 2 x y 4 2 xy 2
2
（8-4）
主 ''
x y 2
x y 2
4 2 xy
2
8-3主应力和极值切应力 4. 主应力值的特点
一、主应力
8—3 主应力和极值切应力
z
z
zy yz
2
3
zx
x
x
xz
xy yx
y
y
1
1、概念
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力。
8—3 主应力和极值切应力