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1大学物理1课后答案

习 题 一1-1 一质点在平面xOy 内运动,运动方程为t x 2=,2219t y -= (SI ).(1)求质点的运动轨道;(2)求s 1=t 和s 2=t 时刻质点的位置矢量;(3)求s 1=t 和s 2=t 时刻质点的瞬时速度和瞬时加速度;(4)在什么时刻,质点的位置矢量和速度矢量垂直?这时x 、y 分量各为多少?(5)在什么时刻,质点离原点最近?最近距离为多大?[解] 质点的运动方程t x 2=,2219t y -= (1)消去参数t ,得轨道方程为:22119x y -= ()0≥x(2)把s 1=t 代入运动方程,得j i j i r 172+=+=y x 把s 2=t 代入运动方程,得()j i j i r 1142219222+=⨯-+⨯=(3)由速度、加速度定义式,有4/d d ,0/d d 4/d d ,2/d d y y x x y x -====-====t v a t v a t t y v t x v所以,t 时刻质点的速度和加速度分别为=v j i j i t v v 42y x -=+j j i a 4y x -=+=a a所以,s 1=t 时,j i v 42-=,j a 4-= s 2=t 时,j i v 82-=,j a 4-= (4)当质点的位置矢量和速度矢量垂直时,有0=⋅v r即 ()[][]04221922=-⋅-+j i j i t t t 整理,得 093=-t t解得 01=t ; 32=t ;33-=t (舍去)m 19,0,s 011===y x t 时 m 1,m 6,s 322===y x t 时(5)任一时刻t 质点离原点的距离()()()222222192t t y x t r -+=+=令0d d =tr可得 3=t 所以,s 3=t 时,质点离原点最近 () 6.08m 3=r1-2 一粒子按规律59323+--=t t t x 沿x 轴运动,试分别求出该粒子沿x 轴正向运动;沿x 轴负向运动;加速运动;减速运动的时间间隔.[解] 由运动方程59323+--=t t t x 可得 质点的速度 ()()133963d d 2+-=--==t t t t txv (1)粒子的加速度 ()16d d -==t tva(2) 由式(1)可看出 当3s >t 时,0>v ,粒子沿x 轴正向运动; 当3s <t 时,0<v ,粒子沿x 轴负向运动.由式(2)可看出 当1s >t 时,0>a ,粒子的加速度沿x 轴正方向; 当1s <t时,0<a ,粒子的加速度沿x 轴负方向.因为粒子的加速度与速度同方向时,粒子加速运动,反向时,减速运动,所以,当s 3>t 或1s 0<<t 间隔内粒子加速运动,在3s 1s <<t 间隔内里粒子减速运动.1-3 一质点的运动学方程为2t x =,()21-=t y (S1).试求: (1)质点的轨迹方程;(2)在2=t s 时,质点的速度和加速度.[解] (1) 由质点的运动方程 2t x = (1)()21-=t y (2)消去参数t ,可得质点的轨迹方程 ()21-=x y(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t t x v 2d d x ==()12d d y -==t tyv 所以 ()j i j i v 122y x -+=+=t t v v (3)2d d 22x ==t x a 2d d 22y ==t ya 所以 j i a 22+= (4) 把2s =t 代入式(3)、(4),可得该时刻质点的速度和加速度. j i v 24+= j i a 22+=1-4 质点的运动学方程为t A x ωsin =,t B y ωcos =,其中 A 、B 、ω为正常数,质点的轨道为一椭圆.试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心.[证明] 由质点的运动方程 t A x ωs i n= (1) t B y ωc o s = (2) 对时间t 求二阶导数,得质点的加速度 t A t xa ωωsin d d 222x -== t B tya ωωcos d d 222y -==所以加速度矢量为 ()r j i a 22cos sin ωωωω-=+-=t B t A 可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心.1-5 质点的运动学方程为()j i r 222t t -+= (SI ),试求:(1)质点的轨道方程;(2) 2s =t 时质点的速度和加速度.[解] (1) 由质点的运动方程,可得t x 2= 22t y -=消去参数t ,可得轨道方程2412x y -=(2) 由速度、加速度定义式,有j i r v t t 22d /d -==j r a 2d /d 22-==t将2s =t 代入上两式,得j i v 42-= j a 2-=1-6 已知质点的运动学方程为t r x ωcos =,t r y ωsin =,ct z =,其中r 、ω、c 均为常量.试求:(1)质点作什么运动?(2)其速度和加速度? (3)运动学方程的矢量式.[解] (1) 质点的运动方程 t r x ωc o s = (1)t r y ωsin = (2)ct z = (3)由(1)、(2)消去参数t 得 222r y x =+此方程表示以原点为圆心以r 为半径的圆,即质点的轨迹在xoy 平面上的投影为圆. 由式(2)可以看出,质点以速率c 沿z 轴匀速运动.综上可知,质点绕z 轴作螺旋线运动. (2) 由式(1)、(2)、(3)两边对时间t 求导数可得质点的速度t r txv ωωsin d d x -==t r t yv ωωcos d d y ==c tz v ==d d z所以 k j i k j i v c t r t r v v v ++-=++=ωωωωcos sin z y x 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数,可得质点的加速度t r txa x ωωcos d d 222-==t r tya y ωωsin d d 222-==0z =a所以 j i k j i a t r t r a a a ωωωωsin cos 22z y x --=++= (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式k j i k j i r ct t r t r z y x ++=++=ωωsin cos1-7 湖中一小船,岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示).当收绳速度为0v 时,试问:(1)船的运动速度u 比v 大还是小?(2)若常量=v .船能否作匀速运动?如果不能,其加速度为何值? [解] (1) 由图知222h s L +=两边对t 求导数,并注意到h 为常数,得tsst L Ld d 2d d 2= 又 t su t L v d d ,d d -=-= 所以 su Lv = (1) 即1>=sL v u 因此船的速率u 大于收绳速率v .(2) 将(1)式两边对t 求导,并考虑到v 是常量 tust s u t L vd d d d d d += 所以 sa v u =-22即 ()32222sv h s v u a =-=1-8 质点沿x 轴运动,已知228t v +=,当8=t s 时,质点在原点左边52m 处(向右为x 轴正向).试求:(1)质点的加速度和运动学方程;(2)初速度和初位置;(3)分析质点的运动性质.[解] (1) 质点的加速度 t t v a 4/d d ==又 t x v /d d = 所以 t v x d d = 对上式两边积分,并考虑到初始条件得()⎰⎰⎰+==-tt x t t t v x 82852d 28d d所以 3.4573283-+=t t x因而质点的运动学方程为 33283.457t t x ++-= (2) 将0=t 代入速度表达式和运动学方程,得m/s 802820=⨯+=vm 3.457032083.45730-=⨯+⨯+-=x(3) 质点沿x 轴正方向作变加速直线运动,初速度为8m/s ,初位置为3.457-m.1-9 一物体沿x 轴运动,其加速度与位置的关系为x a 62+=.物体在0=x 处的速度为s m 10,求物体的速度与位置的关系.[解] 根据链式法则 x vvt x x v t v a d d d d d d d d ===()x x x a v v d 62d d +==对上式两边积分并考虑到初始条件,得 ()⎰⎰+=xvx x v v 010d 62d故物体的速度与位置的关系为100462++=x x v m1-10 一质点在平面内运动,其加速度j i a y x a a +=,且x a ,y a 为常量.(1)求t -v 和t -r 的表达式;(2)证明质点的轨迹为一抛物线.0=t 时,0r r =,0v v =.[解] 由 td d va =得 t d a v = 两边积分得⎰⎰=tvt 0d 0a v v因x a ,y a 为常量,所以a 是常矢量,上式变为t a v v =-0 即 t a v v +=0由 td d rv =得 ()t t t d d d 0a v v r +== 两边积分,并考虑到0v 和a 是常矢量,()⎰⎰+=tr t t 00d d 0a v r r即 20021t t a v r r ++=(2) 为了证明过程简单起见,按如下方式选取坐标系,使一个坐标轴(如y 轴)与a平行,并使质点在0=t 时刻位于0r .这样 00x t v x x += (1)00221y t v at y y ++=(2) 联立 (1)~(2)式,消去参数t 得()()00x0y 0202x 021y x x v v x x v a y +-+-=此即为轨道方程,它为一条抛物线.1-11 在重力和空气阻力的作用下,某物体下落的加速度为Bv g a -=,g 为重力加速度,B 为与物体的质量、形状及介质有关的常数.设0=t 时物体的初速度为零.(1)试求物体的速度随时间变化的关系式;(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?[解] (1) 由tva d d =得 t Bvg vd d =-两边分别积分,得⎰⎰=-t vt Bvg v0d d所以,物体的速率随时间变化的关系为:()Bt e Bgv --=1 (2) 当0=a 时 有 0=-=Bv g a (或以∞=t 代入)由此得收尾速率 Bg v =1-12 一质点由静止开始作直线运动,初始加速度为a ,此后随t 均匀增加,经时间τ后,加速度变为2a ,经τ2后,加速度变为3a ,…….求经时间τn 后,该质点的加速度和所走过的距离.[解] 由题意可设质点的加速度与时间t 的关系为kt a a +=t (k 为常数)由 a k a a 2τ=+=τ得τak =所以 a t t aa a ⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ττ1t 故当τn t =时,质点的加速度 ()a n a 1n τ+=由tv a d d =得 t a v d d =对上式两边积分得⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t vt a t v 00d 1d τ 所以 22t a at v τ+= 又 txv d d = t v x d d = 对上式两边积分⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ττn st t a at x 020d 2d 经过时间τn 后,质点所走过的距离()2232361621τττa n n t a at s n +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1-13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动,其加速ky a -=,k 为常数,y 是离开平衡位置的坐标值.设0y 处物体的速度为0v ,试求速度v 与y 的函数关系.[解] 根据链式法则 y v v t y y v t v a d d d d d d d d ===y a v v d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==y y y y v y ky y a v v 0d d d v即 ()()2022022121y y k v v --=- 故速度v 与y 的函数关系为()220202y y k v v -+=1-14 一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇,在发动机关闭之后匀减速行驶.其加速度的大小与速度的平方成正比,即2kv a -=, k 为正常数.试求舰艇在关闭发动机后行驶了x 距离时速度的大小.[解] 根据链式法则 xvvt x x v t v a d d d d d d d d === v avx d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==v v vv xkv v v avx 00d d d 0化简得ln 1v vk x -= 所以kx e v v -=0l-15 一粒子沿抛物线轨道2x y =运动,且知s m 3x =v .试求粒子在m 32=x 处的速度和加速度.[解] 由粒子的轨道方程 2x y = 对时间t 求导数 x y 2d d 2d d xv txx t y v ===(1) 再对时间t 求导数,并考虑到x v 是恒量2x y 2d d v tv a ==(2)把m 32=x 代入式(1)得 m 43322y =⨯⨯=v所以,粒子在m 32=x 处的速度为 m 543222x 2x =+=+=v v v与x 轴正方向之间的夹角85334arctanarctan0xy '===v v θ 由式(2)得粒子在m 32=x 处的加速度为 22m 1832=⨯=a加速度方向沿y 轴的正方向.1-16 一质点沿半径为0.10m 的圆周运动,其角位置342t +=θ.(1)在2s =t 时,它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时,θ值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?[解] 质点的角速度 212d d t t==θω质点的线速度 222.11210.0t t R v =⨯==ω 质点的法向加速度n a ,切向加速度t a 为()4222n 4.1410.012t t R a =⨯==ω (1)t tva 4.2d d t ==(2) (1)把2s =t 代入(1)式和(2)式,得此时2t 224n m/s8.424.2m/s 103.224.14=⨯=⨯=⨯=a a(2)质点的总加速度1364.262t 2n +=+=t t a a a由 a a 21t =得 1364.25.04.26+⨯=t t t 解得 0.66s =t 所以 rad 15.3423=+=t θ (3)当t n a a =即t t 4.24.144=时有 0.55s =t1-17 火车在曲率半径R =400m 的圆弧轨道上行驶.已知火车的切向加速度2.0t =a 2m ,求火车的瞬时速率为m 10时的法向加速度和加速度.[解] 火车的法向加速度 222n s m 25.040010===R v a 方向指向曲率中心火车的总加速度 2222t 2n s m 32.02.025.0=+=+=a a a设加速度a 与速度v 之间的夹角为θ,则025134.512.025.0arctan arctan00t n '====a a θ1-18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上运动,周期等于地球的自转周期24h =T .求卫星离开地面的高度和卫星的速率(距地球中心r 处的重力加速度2e ⎪⎭⎫⎝⎛=r R g a ,e R 是地球的半径.) [解] 设同步卫星距地球的中心为r ,速率为v ,则Trv π2=(1)2e 2⎪⎭⎫ ⎝⎛==r R g a r v (2) 解(2)式可得()()m 1022.443600241063788.947322233222e ⨯=⨯⨯⨯⨯==ππT gR r 代入(1)式可得s m 1007.33600241022.42237⨯=⨯⨯==ππT r v所以,卫星距地面的高度m 1058.31063781022.4737e ⨯=⨯-⨯=-=R r h1-19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径e 31R r = (e R 为地球半径)作圆周运动,并且已知这时月球对登月舱的引力加速度g a 121=.试计算登月舱的速率和飞行一周所需要的时间.[解] 设登月舱的速率为v ,周期为T ,则a r v =2 即g R v 1213e 2= (1) v T r=π2 即v TR =32e π (2) 解(1)式可得s m 1032.1106378368.93633e ⨯=⨯⨯==R g v 代入(2)式可得s 1001.1368.931063782363243e ⨯=⨯==ππg R T1-20 如图所示,一卷扬机自静止开始作匀加速运动,绞索上一点起初在A 处经3s 到达鼓轮的B 处,然后作圆周运动.已知0.45m =AB ,鼓轮半径0.5m =R ,求该点经过点C 时,其速度和加速度的大小和方向.[解] 设A 点的切向加速度为t a ,经过B 点时的速率为B v ,法向加速度为n a由A 到B 过程:2t 21t a AB =(1)t a v t B = (2)在B 点: R a R v //t B B ==βω, (3)由B 到C 过程:πβωω22B 2C =- (4)在C 点: R v C C ω= (5) 联立以上五式,得m 64.05.035.045.0435.045.02422222C C =⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππωR Rt AB Rt AB R v 方向沿切向R v a 2C n = 2t 2tAB a =22222n2t m 83.05.064.0345.02=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+=a a a 28330.4520.50.64arctan arctan 022n t '=⨯==a a θ1-21 在一个转动的齿轮上,一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运动,其路程随时间的变化规律为2021bt t v s +=,其中0v 和b 都是正常量.求t 时刻齿尖P 的速度及加速度的大小. [解] 设时刻t 齿尖P 的速率为v ,切向加速度t a ,法向加速度n a ,则Rbt v R v a b tv a bt v t sv 202n t 0)(d d d d +====+==所以,t 时刻齿尖P 的加速度为24022n2t)(R bt v b a a a ++=+=1-22 一物体作斜抛运动,抛射角为α,初速度为0v ,轨迹为一抛物线(如图所示).试分别求抛物线顶点A 及下落点B 处的曲率半径.[解] 物体在A 点的速度设为A v ,法向加速度为nA a ,曲率半径为A ρ,由题图显然有αcos 0A v v = (1) nA a =g (2)A n A2Aa v =ρ (3)联立上述三式得 gv αρ220A c o s =物体在B 点的速度设为B v ,法向加速度为nB a ,曲率半径为B ρ,由题图显然有0B v v = (4) αcos nB g a = (5)nB B2Ba v =ρ (6)联立上述三式得 αρcos 20B g v =1-23 一物体作如图所示的抛体运动,测得轨道的点A 处,速度的大小为v ,其方向与水平线的夹角为030,求点A 的切向加速度和该处的曲率半径.[解] 设A 点处物体的切向加速度为t a ,法向加速度为n a ,曲率半径为ρ,则 n t a a g +=由图知 g g a 5.030sin 0t -=-=2/330cos 0n g g a ==又 n 2a v =ρ 所以 g v g v a v 3322/322n 2===ρ1-24 一门火炮在原点处以仰角0130=θ、初速10v m 100=发射一枚炮弹.另有一门位于600=x m 处的火炮同时以初速8020=v s m 发射另一枚炮弹,其仰角2θ为何值时,可望能与第一枚炮弹在空中相碰? 相碰时间和位置如何(忽略空气阻力的影响)?[解] 设经过时间t 后,炮弹1、炮弹2的坐标分别为()11,y x 、()22,y x ,则对炮弹1 t v x 1101cos θ= 2110121sin gt t v y -=θ 对炮弹2 t v x x 22002cos θ+= 2220221sin gt t v y -=θ当炮弹1、炮弹2相碰时 21x x = 21y y =即 t v x t v 2200110cos cos θθ+= (1)2220211021sin 21sin gt t v gt t v -=-θθ (2)解(2)式可得 625.030sin 80100sin sin 0120102=⨯==θθv v (3) 所以 02682.38625.0arcsin ==θ 由(1)式可得 s 48.2682.38cos 8030cos 10060cos cos 002201100=⨯-⨯=-=θθv v x t 相遇时的坐标设为(x ,y ),则m 77.21448.230cos 100cos 011021=⨯⨯====t v x x x θm 86.9348.28.92148.230sin 10021sin 20211021=⨯⨯-⨯⨯=-===gt t v y y y θ1-25 河宽为d ,靠河岸处水流速度变为零,从岸边到中流,河水的流速与离开岸的距离成正比地增大,到中流处为0v .某人以相对水流不变的速率v 垂直水流方向驶船渡河,求船在达到中流之前的轨迹方程.[解] 取图示坐标系ky v =x已知 2dy =时,0x v v = 代入上式得 d vk 02=所以 y dvv 0x 2= (1)又 v v =y积分得 vt y = (2) 代入(1)式得 vt dv v 0x 2=积分得 20vt d v x = (3) 由(2)、(3)消去t 得 20y vdvx =1-26 如图所示,一航空母舰正以s m 17的速度向东行驶,一架直升飞机准备降落在舰的甲板上.海上有s m 12的北风吹着.若舰上的海员看到直升飞机以s m 5的速度垂直下降,求直升飞机相对海水及相对空气的速度?[解] 已知 k v 5-=机对舰 j v 17=舰对海 i v 12=气对海 故 ()s m 175j k v v v +-=+=舰对海机对舰机对海()s m 51712k j i v v v -+-=+=海对气机对海机对气习题 1-26 图。

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