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2.6.2 矩形平面静水压力——压力图法
适用于上、下两个边是水平的矩形平面，不管平面
放的方位如何。
静水总压力的大小： 其大小:
P = Ωb b 为作用面的宽度。
式中: Ω 为压强分布图的面积;
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总压力的方向：垂直指向作用面 总压力的作用点：矩形平面上静水总压力
P 的作用线通过压强分布体的重心。（也
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Fx pxdAx pndAn cos(n, x) 0
Fy py dAy pndAn cos(n, y) 0 1 Fz pz dAz pn dAn cos(n, z ) g ( xyz ) 0 6
令 Δx → 0，Δy → 0，Δz → 0 取极限(将四面体流体元 缩小成一个流体质点)，得出
px pn , py pn , pz pn
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由此可见
静水压强是一标量函数
p p( x, y, z )
px p y pz pn
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2.3 流体静力学基本方程
1. 重力场中流体的平衡
考察六面体形状的流体元在质量力(重力)和表面力(压力) 作用下的平衡。
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就是矩形半宽处的压强分布图的形心）， 作用线与矩形平面的交点就是压力中心D。
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1.对压强分布图为三角形时的总压力计算
1 2 总压力的大小P gh b 2
方向垂直指向作用面。
h 作用点距底面e 3
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2.对压强分布为梯形的总压力的计算
p1 p2 总压力的大小P ab 2
dPx ghdA cos ghdAx dPz ghdA sin ghdAz
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Px dPx ghdAx g hdAx
Ax Ax
式中： hdAx hc Ax
Ax
Px ghc Ax
Az
Pz dPz ghdAz g hdAz
流体力学
流体力学与水力学研究所 2013-08-20
第二章
流体静力学(Fluid statics)
• 流体静力学研究流体在静止状态下的受力平衡规律及其在 工程中的应用 • 根据力学平衡条件研究静压强的空间分布规律，确定各种 承压面上静压强产生的总压力，是流体静力学的主要任务 • 2.1 流体静压强 • 2.2 静止流体中一点的应力状态 • 2.3 流体静力学基本方程 • 2.4 若干概念 • 2.5 静水压强分布 • 2.6 平面上静止液体的总压力 • 2.7 曲面上静止液体的总压力
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证明第二个特性
• （1）表面力
1 dPx px dAx px dydz 2 1 dPy p y dAy p y dxdz 2 1 dPz pz dAz pz dxdy 2
dPn pn dAn
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• （2）质量力 1 gdxdydz 6 面积关系
1 dAn cos yz 2 1 dAn cos z x 2 1 dAn cos xy 2
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概述
• •
静水力学是研究液体的平衡规律及其应用的学科。 液体的静止状态有两种：绝对静止、相对静止。
•
• •
实际工程中的静水力学问题。
水静力学的理论是学习水动力学的基础。 静水力学的研究过程：“由点到面”。
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2.1 静水压强
静水压强的定义 1、静水压力是指平衡液体内部相邻两 部分之间相互作用的力或者指液体对固 体壁面的作用力。
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例图2.4
pA m g (1 2 ) g (3 2 ) m g (3 4 ) g (5 4 )
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p1 p2 g (h sin a)
'
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2.5 静水压强分布
1.平板闸门静水压强
分布图
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平板闸门上、下游静水压强分布图
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3、静水压力的作用点
由理论力学中的合力矩定理
静水总压力P的作用点为D， 其坐标为xD和yD。 总压力的力矩： PyD g sin S x yD
各分力的力矩和： dPy g sin y 2dA g sin y 2dA
A A
yD

A
y 2 dA Sx
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1 M ( x dx, y , z ) 点的压强为 ( p p dx ) 2 x 2
p dx dPAB ( p )dydz x 2
p dx dPCD ( p )dydz x 2
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• （2）质量力
x与y方向的质量力为零 z方向的质量力为：
gdxdydz
g
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它表明：当质量力仅为重力时，静止液体 p 两项之和为常数。 内部任意点的 z和 g
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（2）流体静力学基本方程形式之二
p po gh
利用该式可求出任意点处的压强 p。
该式表明：在重力作用下，静止液体内部 任一点的静水压强， 由表面压强p0加上由 表面到该点单位面积的液柱重量 gh。
得到的压强称为绝对压强，以 pabs 表示。
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• 相对压强（Relative pressure) • 计示压强或表压强（Gagepressure)。
以当地大气压为计算零点所得到的压强称为 相对压强，又称表压强， 以 pr 表示。
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绝对压强与相对压强之间的关系
p
abs

p p
a
r
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三个方向的平衡微分方程
p (p x p (p y p (p z x p )yz ( p 2 x y p )zx ( p 2 y z p )xy ( p 2 z x )yz 0 2 y )zx 0 2 z )xy gxyz 0 2
当地大气压：
与当地的纬度、海拔高度及温度有关。
工程大气压：
pa 1000 9.8110 98100N/m
2
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衡量压强的大小根据起量点的不同，有绝 对压强(Absolute pressure)和相对压强 （ Relative pressure ）。 以绝对（或完全）真空状态为计算零点所
方向垂直指向作用面
作用点距底面
a 2 p1 p2 a 2h1 h2 e 3 p1 p2 3 h1 h2
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静水总压力实验装置
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2.7 作用于曲面上的静水总压力
首先分析作用于具有水平母线的二向曲面上 的静水总压力。
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2.7.1 静水总压力的大小
dP pdA ghdA
2 压力体和对曲面施压液体在该曲面两侧，Pz 方向向上。
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2.7.2静水总压力的方向
静水总压力P 与水平面之间的夹角为θ ，
Pz tan Px
求得θ角后，便可定出P 的作用线的方向。
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2.7.3静水总压力的作用点
关于作用点分两种情况讨论：圆弧面和非 圆弧面。
圆 弧 面
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流体平衡的微分方程
p 0 x p 0 y p g z
p p p dx dy dz gdz x y z
dp gdz
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如果质量力在各个方向都有分量
1 p fx 0 x
非 圆 弧 面
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例 1
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例 2
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例 3
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例 4
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• 作业：2-6，2-9，2-14，2-17 • 本课件部分内容摘自赵振兴老师、何建军 老师与戴昱老师的课件内容，特此致谢。
• 流体平衡微分方程的推导
（1）表面力
六面体中心点M(x，y，z)的压强为p
根据泰勒级数展开式
1 f ( x) f ( xo ) f ( xo )( x xo ) f ( xo )( x xo ) 2 2
1 p dx M ( x dx, y, z ) 念
1.标准大气压强
1个标准大气压强 ＝ 76cm水银柱在其底部 所产生的压强 ＝ 10.332m水柱在其底部 所产生的压强 ≈ 101.3kPa
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2.4.1绝对压强、相对压强、真空压强
大气压强是地面以上的大气层的重量所产生的。
标准大气压：
pa 13.6 103 9.81 0.76 1.014 105 N/m2
I x y dA
2 A
Ix yD Sx
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则可得出： y D
I x Ix Sx yc A
利用惯性矩平行移轴定理： I x Ic yc2 A
2 Ic y c A Ic yD yc yc A yc A
Ic 由于 0所以一般情况下yD yc yc A
A A
Sx
ydA y
A
c
A
P g sin S x g sin yc A P ghc A pc A
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上式表明：任意形状平面上的静水总压力P
等于该平面形心点C 的压强 pc与平面面积
A的乘积。
2.静水总压力的方向 静水总压力P 的方向垂直指向受压面。
1 p fy 0 y
1 p fz 0 z
由瑞士学者欧拉于1775年首次导出，称为欧拉 平衡微分方程
1 p p p f x dx f y dy f z dz ( dx dy dz ) x y z