数量关系一、核心方法 (1)1.代入排除法 (1)2.数字特性法 (1)3.方程法 (1)4.赋值法 (2)5.线段法 (2)二、高频考点 (3)1.工程问题 (3)2.行程问题 (3)3.经济利润问题 (4)4.溶液问题 (5)5.排列组合与概率 (5)6.容斥原理问题 (7)7.最值问题 (7)8.几何问题 (8)三、专项考点 (9)1.时间问题 (9)2.统筹规划问题 (11)3.计数杂题 (12)一、核心方法1.代入排除法特征：题目有几个量，选项就有几个量与之对应，剩二代一必得答案。

方法：先排除，再代入。

先用奇偶、尾数、倍数等特性排除。

先代入简单好算的。

问最多从最多开始代入，问最少则从最少开始代入。

2.数字特性法2.1奇偶特性基础知识：加减法：同奇同偶才为偶，一奇一偶则为奇。

乘法：一个为偶则为偶，全部为奇才为奇。

2.2倍数特性适用范围：题目中含有“分数、百分数、倍数、比例、分组”等。

基础知识：1.常见形式：AB =mn, A:B=m:n ,A占B的mn等。

结论：A是m的倍数，B是n的倍数，（A±B）是（m±n）的倍数。

2.常见形式：y=ax+b（x为正整数）。

结论：（y-b）能被a整除。

3.方程法3.1普通方程设小不设大、设中间量、问谁设谁。

3.2不定方程第一类：未知数必须是整数的ax+by=M1.方法：分析奇偶、尾数、倍数等数字特性，尝试代入排除。

奇偶：a、b恰好一奇一偶尾数：a或b的尾数是5或0倍数：a或b与M有公因子。

2.不定方程组先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。

第二类：未知数可以不是整数的多项式整体代换或赋零法：1）未知数的个数多于方程个数，且未知数可以不是整数。

2）答案是一个算式的值，而非单一未知数的值。

操作：赋其中1个未知数为零，从而快速计算出其他未知数。

尽量选取两式都有的量赋为0。

4.赋值法适用范围：题干中没有出现具体的值，条件都是以倍数、分数、百分数、比例等。

用法：对题目中的不变量赋值。

对工程总量、总路程、总价等赋值时，采用所给数字的公倍数。

对效率、成本、进价等赋值时，结合比例关系赋值简单数。

5.线段法适用范围：混合比例问题。

题型：浓度混合、平均数混合、利润率混合、折扣混合、比重混合、增长率混合等。

公式：Aa%+Bb%=(A+B)c%，即AB =c%−b%a%−c%，即混合前溶液量的比值与混合后浓度差成反比。

注意：混合浓度，对应溶液量之比。

混合平均数，对应人数之比。

混合利润率，对应成本之比。

混合折扣，对应定价之比。

混合比重，对应总体之比。

混合增长率，对应基期量之比。

二、高频考点1.工程问题1.1赋值总量题型特征：题干给出多个完成工程的时间。

解题思路：1）给总量赋值，将总量设为各时间的公倍数，计算出所给的条件的效率。

2）由题目给定的工作过程，根据公式或列方程求解。

1.2赋值效率题型特征：题干给出效率的比例关系。

解题思路：1）给效率赋值，按照给定的比例关系进行赋值。

2）有题目给的其他条件，算出工程总量或其他所需的数据。

1.3给具体值题型特征：题干有效率、时间、总量三个量中的至少两个量的具体值。

解题思路：一般不能赋值，应使用方程法，结合公式计算。

2.行程问题2.1普通行程基础知识：路程=速度×时间等距离平均速度=2v1v2v1+v2等时间平均速度=v1+v222.2相对行程基础知识：1）相遇问题：路程和 =(大速度+小速度)×时间多次相遇：两头分别出发，(2n−1)×s=(大速度+小速度)×时间多次相遇：一头同时出发，2n×s=(大速度+小速度)×时间两端出发，第n次相遇，两人共走(2n-1)S，即(2n-1)个全程。

给相遇次数，问路程或时间，根据相遇次数推路程，根据路程算时间。

给相遇时间，问相遇次数，根据时间算路程，根据路程算相遇次数。

注意：若从同一端出发，第n次相遇，共走2n个全程。

2）环形相遇：同一出发点，不同方向。

①S相遇=(V1+V2)×T②相遇1次，S相遇=1圈=S；相遇N次，S相遇=N圈=NS。

3）追及问题：路程差=(大速度-小速度)×时间4）环形追及：同一出发点，同向而行。

追上N次，S追及=N圈。

5）顺水行船：路程=(船速+水速)×时间v船=v顺+v逆2静水速度=船速6）逆水行船：路程=(船速-水速)×时间v船=v顺−v逆2漂流速度=水速2.3比例行程基础知识：路程一定，速度和时间成反比；时间一定，路程和速度成正比；速度一定，路程和时间成正比。

解题思路：当某个量为定值时，可考虑使用比例。

将比例转化为份数或通过比例列方程。

3.经济利润问题3.1基础题型基础知识：利润=售价-进价利润率=利润÷进价=（售价-进价）÷进价售价=进价×（1+利润率）折扣=售价÷定价具体方法：1）求具体价格：列式计算、方程。

2）求比例：赋值法。

3）赋值技巧：常设成为为1、10、100等，如果成本当中涉及数量，也可以对数量赋值，如成本100=10×10。

3.2分段计算题型识别：当题干中表述“超出部分按照某个标准计算”时，即为分段计算。

具体方法：1）按标准，分开；2）计算后，汇总。

解题思路：题干所给标准以内是一个单价，超出标准是另一个单价，分段计算标准内和超标准，最后根据题干中的关系计算即可。

注意：合并付费时，单价高的商品不论是单独购买还是合并购买，享受的优惠相同。

所以在计算时，通常只考虑单价低的商品。

3.3统筹经济题型识别：题干中给出不同费用方案，问题中出现“最多”“最少”或类似表述。

解题思路：综合考虑对比各种情况，选择最优方案。

4.溶液问题4.1混合溶液基础知识：溶质质量=溶液质量×浓度题型特征：题干给出溶液或溶质的实际量，经过混合，溶液量和溶质量都发生变化。

解题思路：公式法、方程法、线段法。

十字交叉法公式：m1c1+m2c2=(m1+m2)c m1m2=c−c2c1−c4.2溶质不变基础知识：浓度=溶质质量溶液质量×100%题干特征：题干中出现溶液和水混合或者是蒸发溶液中的水。

解题思路：以溶质量不变，溶液量变化为突破口。

采用赋值法、公式法。

4.3溶液不变题型特征：溶液之间进行多次混合，其中一溶液的溶液量或两溶液的溶液量之和不变。

解题思路：以溶质量变化，溶液量不变为突破口，采用赋值法、公式法。

5.排列组合与概率5.1常用方法（一）捆绑法基础知识：题目中出现“相邻”“在一起”“连续”等要求时，考虑捆绑法。

具体用法：1）把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序。

2）将捆绑后的元素看成一个元素，与其他元素进行后续排列。

（二）插空法基础知识：题目中出现“间隔”“不相邻”“不连续”等要求时，考虑插空法。

具体用法：1）将可以相邻的元素进行排列，排列后行程若干个空位。

2）将不相邻的元素插入形成的空位中。

（三）插板法基础知识：题目形式为把n个相同的物品分给多个主体时，要求每个主体至少分m个。

具体用法：先给每个主体少分一个（即先分m-1个），剩下的物品必须给每个主体至少再分一主体个数−1个才能满足要求，此时直接用公式：方法数=Cn−1（四）全错位排列基础知识：题目要求不能一一对应时。

具体用法：D1=0 , D2=1 , D3=2 , D4=9 , D5=44。

（五）环线排列：环线上的排列问题没有前后和首尾之分。

n−1=(n−1)!种。

n个人围成一圈，排列方式有A n−15.2概率相关概率=满足条件的个数总个数概率=各步概率的乘积概率=各类概率的和概率=1-不满足条件的概率6.容斥原理问题6.1公式法两集合容斥原理：A+B−A∩B=总数−A、B均不满足的个数三集合容斥原理：标准型公式：A+B+C−A∩B−A∩C−B∩C+A∩B∩C=总数−A、B、C均不满足的个数非标准公式：A+B+C−b−2c=总数−A、B、C均不满足的个数A+B+C=a+2b+3c其中a、b、c分别代表满足一个条件的数量、满足两个条件的数量与三个条件均满足的数量。

6.2图示法6.3方程法解题思路：当题干的数据相对较少时，可设未知数，运用方程法解题。

当设计人数或人次时，可根据人数或人次之间的关系列方程。

注意：人数与人次的区别人数，是指人的数量，每个人只能代表1个人，没有重复。

人次，是人干事情的次数，每干一次，即为1人次。

一个人可以是1人次，也可是多人次，还可是0人次。

在三集合容斥原理中，总人数是所有人数之和a+b+c，总人次是所有干事情次数之和A+B+C，即a+2b+3c。

7.最值问题7.1最不利构造类即抽屉原理。

题型识别：问法中出现“至少…保证…”或类似表述。

解题思路：1）找出最不利情况，即在题目所要“保证…”的要求不被实现的情况下，尽可能的取到最多。

2）在最不利的情况上加1，便是题目所求答案。

7.2构造数列类题型识别：题目中的总量一定，问法为“最多/少的…至多/少…”“排名第N的至多/少…”。

解题思路：1）排序定位：根据主体个数进行排序，锁定要求的主体。

2）反向构造数列：但若干自然数的加和一定时，若要使其中一个尽可能大，则其他应尽可能小；反之，若要使其中一个尽可能小，则其他应尽可能大。

3）加和求解。

注意：1）考虑主体所对应的数值是否可以并列，即注意是否各不相同等。

2）计算结果为非整数时，问最多向下取整，问最少向上取整。

7.3多集合反向构造题型识别：题干问法为“这些条件都满足的至少有多少”。

公式：答案=S n−(n−1)×M，S n为各集合的加和，n代表集合的个数，M是总体。

8.几何问题8.1平面几何S扇形=n360°πr2=12lr解题思路：不规则图形，通过割、补、平移等方法将不规则图形转化为规则图形再计算。

注意常考运用相似三角形的特性求解。

8.2立体几何基础知识：正方体表面积=6a2长方体表面积=2×(ab+bc+ac)球的表面积=4πR2圆柱的表面积=2πrℎ+2πr2球的体积=43πR3圆锥的体积=13πr2ℎ8.3几何特性基础知识：1）等比例缩放特性若将一个图形的尺度扩大为原来的n倍，则：1.对应角度不变；2.对应周长变为原来的n倍；3.面积变为原来的n2倍；4.体积变为原来的n3倍。

2）几何最值理论1.平面几何中，周长一定，越接近于圆，面积越大；2.平面几何中，面积一定，越接近于圆，周长越小；3.立体几何中，表面积一定，越接近于球，体积越大；4.立体几何中，体积一定，越接近于球，表面积越小。

注意：遇到三角形题目时，要注意两边之和要大于第三边，注意是否能够成三角形。

三、专项考点1.时间问题1.1年龄问题基础知识：1）年龄（一般只考虑周岁）= 现在年份-出生年份2）两人年龄之差始终不变3）每过n年，每个人都长n岁4）两人年龄倍数随时间推移而变小解题思路：1）常用方法：代入排除法2）结合常识：如属相生日相同即年龄差为12的倍数、父母之间年龄相仿、父母与孩子年龄差多为20~30岁。