高中数学《二面角的平面角及求法》练习1. 如图，直三棱柱中，＝，＝，，分别为、的中点．（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值．2. 已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中.证明：平面平面；若是的中点，求二面角的余弦值．3. 如图，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，＝，＝．（1）求证：平面；（2）设线段、的中点分别为、，求与所成角的正弦值；（3）求二面角的平面角的正切值．4. 如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．5. 如图，在平行四边形中，＝，＝，＝，平面平面，且＝，＝．（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；（2）求二面角的余弦值．6. 如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点，点在上，且．将，分别沿，折叠使，点重合于点，如图所示．（1）试判断与平面的位置关系，并给出证明；（2）求二面角的余弦值．7. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，＝，为中点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．8. 已知四棱柱中，底面为菱形，＝，＝，＝，为中点，在平面上的投影为直线与的交点．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．9. （（1）如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，分别是棱、的中点，＝，，直线与平面所成的角的正弦值为．证明：平面；（2）求二面角的余弦值．10. 如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，＝＝，，＝＝Ⅰ，直线与平面所成的角等于．Ⅱ证明：平面平面；求二面角的余弦值．11. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，将正方形沿着线段折起，使得＝，设为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．12. 已知三棱柱中，＝＝，侧面底面，是的中点，＝，．Ⅰ求证：为直角三角形；Ⅱ求二面角的余弦值．13. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，＝，是棱的中点，＝，在线段上，且＝．（1）证明：面；（2）若，面面，求二面角的余弦值．14. 如图，在四棱锥中，平面底面，其中底面为等腰梯形，，＝＝＝，，＝，为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．参考答案一、解答题1.证明：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．设＝，＝，则，，，，，，，，．∵，，∴，，又＝，∴平面；设平面的法向量，则，又，故，取＝，得．∵与平面所成的角为，，∴，解得，∴．由（1）知平面的法向量，∴．∴二面角的余弦值为．2.证明：设的中点为，连结，，如图：由题意得，，，∵在中，，为的中点，∴，∵在中，，，，∴，∴.∵，，平面，∴平面.，∵平面，∴平面平面．解：由知平面，∴，，，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，，，，设平面的法向量，则取，得.设平面的法向量，则取，得.设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．3.因为平面平面，平面，，平面平面＝，所以平面．所以．因为为等腰直角三角形，＝，所以＝又因为＝，所以＝＝，即．因为平面，平面，＝，所以平面．取的中点，连结，，则，所以为平行四边形，所以．所以与所成角即为所求，正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，＝，设＝，．＝，，在直角三角形中，．由，平面平面，易知，平面．作，交的延长线于，则．从而，平面．作于，连结，则由三垂线定理知，．因此，为二面角的平面角．因为＝，＝，所以＝，＝．设＝，则＝，．．在中，＝，，．在中，．故二面角的平面角的正切值为．4.取中点，连接，，依条件可知，，则为所求二面角的平面角．∵面，∴为侧棱与底面所成的角．∴，设＝，，∴＝，．∴＝．连接，，∵，∴为异面直线与所成的角．∵，，∴平面．又平面，∴．∵，∴；延长交于，取中点，连，，．∵，，∴平面∴平面平面．又＝，＝，∴为正三角形．∴．又平面平面＝，∴平面．∴是的等分点，靠近点的位置．5.存在点，点为的中点，证明：当点为的中点时，连结交于，∵平行四边形，∴为的中点，连结，则，∵在平面，不在平面，∴平面；∵＝＝＝，＝＝＝，＝，∴，∴，∴＝，∴，又∵平面平面，∴平面，平面，∴过点作，垂足为，连结，∴平面，∴，则为二面角的平面角，在中，，∴，∴二面角的余弦值为．6.平面．证明如下：在图中，连接，交于，交于，则，在图中，连接交于，连接，在中，有，，∴．∵平面，平面，故平面；图中的三角形与三角形分别是图中的与，∴，，又＝，∴平面，则，又，∴平面，则为二面角的平面角．可知，则在中，＝，，则．在中，＝，，由余弦定理，得．∴二面角的余弦值为．7.证明：∵底面是边长为的正方形，＝，为中点，∴，．∵平面，平面，∴．∵＝，∴平面，∵平面，∴，∵＝，∴平面，∵平面，∴；以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系．则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，取＝，得；设平面的一个法向量为，则，取＝，得，∴，∴二面角的正弦值为．8.证明：四棱柱中，底面为菱形，连结、，则，，∵在平面上的投影为直线与的交点，∴平面，∵平面平面，∴平面，∵平面，∴，∵＝，∴平面，∴平面，∵平面，∴．连结，则四边形是平行四边形，∴平面，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取＝，得，设二面角的平面角为，则．∴二面角的正弦值．9.证明：取中点，连接，，在中，，分别为，的中点，则，且，又底面为正方形，为的中点，则，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴，又不在平面内，在平面内，∴平面；∵，，且＝，都在平面内，∴平面，取中点，则，∴平面，∴为直线与平面所成的角，∴，∵、、分别为、、的中点，底面边长为，＝，∴，且，∵平面，在平面内，∴平面平面，且交线为，又，且在平面内，∴平面，在平面内作于点，则，又∵＝，，在平面内，∴平面，再作于点，如图，则为所求二面角的平面角，在正方形中可求得，∴二面角的余弦值为．10.证明：Ⅰ在中，是斜边的中点，所以．因为，是，的中点，所以，且，所以＝，，又因为，，所以，且＝，故平面因为平面，所以平面平面．（2）方法一：取中点，则因为，所以．又因为，所以平面，故平面因此是直线与平面所成的角，，所以，过点作于，则平面，，过点作于，连接，则为二面角的平面角，因为，所以因此二面角的余弦值为．方法二：如图所示，在平面中，作轴，以为坐标原点，，为，轴建立空间直角坐标系．因为（同方法一，过程略）则，，，所以，，设平面的法向量则即取＝，得，设平面的法向量则即取＝，得所以，因此二面角的余弦值为．11.证明：∵，分别为正方形的边，的中点，∴，，又平面，平面，＝，∴平面，∵平面，∴，∵＝，＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，面，面，＝，∴平面．设中点为，连结，则，，两两垂直，不妨设＝．以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则，，，，∴，，设平面的法向量为，则，令＝，得，而为平面的一个法向量，∴，故二面角的余弦值为．12.（1）取的中点，连接，，在中，＝，＝，故是等边三角形，∴，又，而与相交于，∴平面，故，又，∴，∴为；（2）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，可令＝＝＝，则，，，，，∴，，，，设平面的法向量为，由题意有，令＝，则＝，，∴，又侧面底面，可得平面，可得平面的法向量为，，，二面角的平面角为钝角，可得二面角的余弦值为．13.连接交于点，连接．………因为，所以，又因为，所以，所以，……又面，面，所以面………过作于，因为＝，所以是线段的中点．因为面面，面面＝，所以面．连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以．如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标………分不妨设＝，则，，，，，由，得，的中点，，设面的一个法向量为，则，即，得方程的一组解为，即面的一个法向量为，则所以二面角的余弦值为．………14.证明：取中点，连结，，∵，是，的中点，∴，且，∵，＝，∴，∴，∴＝，又，∴，∴为平行四边形，∴，又平面，且平面，∴平面．取中点，连结，取的中点，连结，，设＝，由（1）得＝＝＝，∴为等边三角形，∴，同理，，∵平面平面，平面平面＝，平面，∴平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，平面的法向量，∴，由图得二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为．第21页共22页◎第22页共22页。