斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角。
表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
要点 找适当点、作平行线
[0 , ]
2
找射影、二足相连
[ 0 ， ]
用什么度量？
1.作出所求的空间角 <定位>
2.证明所作的角符合定义 <定性>
授课内容：空间的角
空间角及 专
题讲 座
其求法
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。
空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
(A) 3 3
3 (B)
2
6 (C)
3
6 (D)
2
3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所
2 成角的余弦值是_____4______.
4.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若 过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的
说明：异面直线所成角的范围是（0º，90º]，在把异面直
线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求
其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两
条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要
注意。
另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定
理（或逆定理）判定所成的角为90º，也是不可忽视的办法。
所分成析的：角。欲求BC’与底面ABC所成的角，关键
在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到
ACAB和ACBC’，即AC平面ABC’，所以，B 平面ABC’平面ABC，故点C’在底面上的射影
x
O
A
x
3
C
O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上，C’BO为所求的角。
例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直
影所成的角。求斜线与平面所成的角，关键是找准斜
线段在平面内的射影； 通常是从斜线上找特殊点， 作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。
A’
例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为 B’
C’
一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底 面成60º角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 15 10
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空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本
内容，也是其重点和难点。
空间中的角有：
异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。
求空间角的一般步骤是： (1)找出或2)证明它符合定义；
1、异面直线所成的角
3.构造三角形并求出所要求角<定量>
简言之，空间角的求解步骤为：
“一 “二 作” 证”
“三 算”
“一 作” “二 证” “三 算”
课前热身
1. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α
内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )C
(A)30°
(B)60°
(C)90°
(D)150°
2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别 是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所 成角的正弦值为( C )
A
D1 O1
C1
B1
M
D
C
B
角（或其补角），连A1M，在A1O1M中 A1M = 22 12 = 5,
O1M
=
1 2
BD1
=
1 2
22 12 22 = 3 , 2
A1O1
=
1 2
22 12 = 5 , 2
由余弦定理得
cos A1O1M =
5, 5
A1C1与BD1所成的角为
arccos
5. 5
解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面
直线的关系。
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，
A1
AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线
解法一（平移A法1C）1与：B如D图1所，成连的B1角D。1与A1C1 交于O1，
取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
图
直线与平面所成角
二面角
形
定 义
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角
范围是( B )
(A)θ 0 θ 0
(B)θ 40 θ 50
(C)θ 40 θ 90
(D)θ 50 θ 90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(3)计算。
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就
是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用
“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线， 构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
能力·思维·方法
1. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别
为BC和AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.
2、直线和平面所成的角
•直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0º；
•直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
•斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，
在A1C1E中，
D1
A1C1 = 5, A1E = 2 5, C1E = 3 A1
C1 B1
F1 E1
由余弦定理得
5 cos A1C1E = 5
5
A1C1与BD1所成的角为
arccos . 5
D A
C B
F E