测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi （i=1，2，…，n ） （6-8）【例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为：第一组 -3″、+3″、-1″、-3″、+4″、+2″、-1″、-4″； 第二组 +1″、-5″、-1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″。

试比较这两组观测值的精度，即求中误差。

解："22222219.2841243133±=+++++++±=m"222223.3813046151±=+++++++±=m由于m 1<m 2，可见第一组观测值的精度比第二组高。

同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。

另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。

二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式，即mS Sm K 1==（6-10） 三、误差传播定律【例】 丈量某段斜距S =106.28 m ，斜距的竖角038'︒=δ，斜距和竖角的中误差分别为cm 5m s ±=、"20m ±=δ，求斜距对应的平距D 及其中误差D m 。

解：平距 105.113m 30'cos8106.28cos =︒⨯=⋅=δS D由于δcos ⋅=S D 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并用“∆”代替“d ”得δδδ∆⋅⋅-∆⋅=∆sin cos S S D再根据（6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值n m ] [∆∆ ±=2""2222"2222)(477.24)20626520()'308sin 28.106(5)'308(cos )()sin ()(cos cm m S m m SD=⋅︒⋅+⋅︒=⋅⋅+⋅=ρδδδ因此，平距的中误差为：m D =±5 cm 。

则最终平距可表示为：D =105.113±0.050 m 。

应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。

例如，上例中的角值需要化为弧度。

综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。

【例】 用长度为l =30 m 的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m =±5 mm ，求全长D 及其中误差m D 。

解：列独立观测值函数式对函数式进行全微分 写出中误差关系式 则，全长的中误差为 m D =±mm 16105555222±=⨯±=+++ 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l ，写出全长D 的中误差关系式并计算中误差m D =10·m =10·5=±50mm 。

答案错误，原因在于错误地列出了函数式。

【例】设有函数式Z=y 1+2y 2+1，而y 1=3x ，y 2=2x+2，已知x 的中误差为m x ，求Z 的中误差。

解：若直接利用式（6-16）和（6-23）计算，则函数Z 的中误差 x m m m m m m x x y y Z5)2(4)3(4222221±=⋅+±=+±=上面答案是错误的！这是因为y1和y2均是x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此，不能直接应用误差传播定律进行计算。

正确的做法是先将y 1和y 2代入函数式Z ，合并同类项后即为独立观测值，再应用误差传播定律，即xZ m m x x x Z 7571)22(23±=+=+++=),,,(21n x x x f z =n ndx x f dx x f dx x f dz ∂∂++∂∂+∂∂=22112222222121nx n x x m x f m x f m x f z m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂±= 1021dl dl dl dD +++= 1021l l l D +++= 2210222110m m m m m l l l D ⋅±=+++±=【例】 对某段距离进行了5次等精度观测，观测结果列于表6-3，试计算该段距离的最或然值及其中误差。

计算见表6-3。

表6－3 利用观测值的改正数计算观测值中误差四、加权平均值及其中误差【例】 已知观测值分别为L 1、L 2、L 3，其中误差分别为m 1=±1″、m 2=±2″、m 3=±3″,则它们的权分别为：取μ=1时， 91,41,1233222211======m p m p m p μμμ取μ=4时， 94,1,4233222211======m p mp mp μμμ取μ=36时，4,9,36233222211======m p m p m p μμμ【例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。

设在A 、B 两点间进行水准测量，共设置了n 个测站，各测站的高差分别为h 1、h 2、┅、h n ，则A 、B 点间的高差h AB 为h AB =h 1+h 2+┅+h n （6-38）若每个测站的高差中误差为m 站，则根据误差传播定律可得h AB 的中误差为n m m AB h 站= （6-39）若设每测站的水准距离相等，均为s ，则A 、B 间的水准测量距离S AB =n ·s ，由式（6-39）可得h AB 的中误差AB AB h S sm s S m m AB ⋅==站站（6-40） 设sm 站=μ，则式（6-40）变为AB h S m AB ⋅=μ。

当S AB =1 km 时，AB h m =m 公里=μ，可见μ为每公里水准测量高差的中误差。

因此，式（6-40）变为AB h S m m AB ⋅=公里 （6-41）由式（6-39）和（6-41）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离的平方根成正比。

可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。

若取c 个测站的观测高差中误差为单位权中误差μ，根据权定义式（6-37）和式（6-39），可得观测高差h AB 的权为n cnm c m m P ABAB hh ===22站站22μ（6-42）若取c 公里观测高差的中误差为单位权中误差m 公里，根据定义权公式（6-37）和式（6-41），可得观测高差h AB 的权为ABhh c m c m m P ABAB S S AB22===公里公里22μ（6-43）由（6-42）和（6-43）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反比。

所以，通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。

【例】 在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n 1、n 2、┅、n n 进行n 批观测，得相应的算术平均值为L 1、L 2、┅、L n ，求 L 1、L 2 、┅、L n 的权。

解：设各观测值的中误差分别为m 1、m 2、┅、m n ，且观测一次的中误差均为m ，则nnn m n mn mmmm===,,,2211因此，相应的权为i ii i n n m m p m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===222μμμ，再令m c 2μ=，则i i n c p ⋅=，若取c=1，则i i n p = （6-44）可见，在相同的观测条件下，算术平均值的权与观测次数成正比（或相等）。

设n 个不等精度观测值L 1、L 2、…、L n ，相应的权分别为P 1、P 2、…、P n ，则最或然值（称为加权平均值）为][][212211p pL p p p L p L p L p x n n n =++++++=（6-45）可以看出，当各观测值为等精度时，则权P 1=P 2=…=P n =1，上式就与算术平均值计算式（6-31）相同。

下面根据式（6-45）推算加权平均值的中误差。

设观测值L 1、L 2、…、L n 的中误差分别为m 1、m 2、…、m n ，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为[][][]2222222221221nn x m P P m P P m P P M +++±= （6-46） 由权定义式（6-37），有iip m 22μ=，代入式（6-46）可得[][][][]][)(n 212222222221P P P P P P P P P P P M nx μμμμμ±=+++⋅±=+++±= （6-47）实际计算时，上式中的单位权中误差μ可用观测值的改正数来计算，其计算公式为[]1-±=n PVV μ（6-48）将式（6-48）代入式（6-47），可得加权平均值的中误差计算公式[][][])1(-±=±=n P Pvv P M x μ（6-50）【例】 如图6-3所示，从已知水准点A 、B 、C 经三条水准路线，测得E 点的观测高程H i 及水准路线长度S i （见表6-4），求E 点的加权平均值及其中误差。

各条水准路线权： ii S p 1= （由式6-43可得） 加权平均值： )m (469.527][]H [==p p x加权平均值中误差：)(84.8)1]([][M x mm n p pvv ±=-±=则E 点高程： H E =527.469±0.009 （m ）图6-3 不等精度水准路线表6-4 不等精度高程计算表观测路线 E 点观测高程 H i (m) 观测路线长度 S i (km)观测高程权i p观测值的改正数i i H x v -= (mm)PVV1 527.459 4.5 0.22 10 22.00 2 527.484 3.2 0.31 -15 69.75 3527.4584.00.251130.25五、思考题习题：1.观测条件主要由那些因素构成？2.观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？试举例说明。

3.在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号：（1）视准轴与水准管轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沉；（5）水准尺倾斜。

4.何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？5.偶然误差的统计规律是什么？偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题?6.已知两段距离的长度及其中误差分别为：300.465 m ±4.5 cm 及660.894 m ±4.5 cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的相对中误差是否相等？7.在三角形ABC 中，已测出,'3'0060,'4'0030±︒=∠±︒=∠B A求C ∠的值及其中误差。