空间曲线方程不同形式间的转化技巧李晶晶摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space CurveEquationLi Jingjing(20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they canbe transformed into each other．There are many methods for the conversion between thesetwo kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution．Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence;the same solution1引言空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1]空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．1.1 平面曲线方程的形式1.1.1 平面曲线的一般方程平面曲线一般方程的定义[2]当平面上取定了坐标系之后，如果方程(,)0F x y =或()y f x =与一条曲线有着下列关系：满足方程的(,)x y 必是曲线上的某一点的坐标；反过来，曲线上任何一点的坐标(,)x y 满足这个方程，那么这个方程(,)0F x y =就叫做这条曲线的一般方程，而这条曲线叫做这个方程的图形． 1.1.2 平面曲线的参数方程平面曲线参数方程的定义[2] 若取()t a t b ≤≤的一切可能取的值，满足：由12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤表示的向径()r t →的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由t 的某一值0t ()0a t b ≤≤通过12()()()r t x t e y t e →→→=+()a t b ≤≤完全决定，那么就把这个表达式叫做这条曲线的向量式参数方程，其中t 为参数．参数方程为(),(),x t y t φϕ=⎧⎨=⎩ ()a t b ≤≤.1.2 平面曲线方程不同形式间的转化1.2.1 平面曲线的参数方程转化为一般方程平面曲线的参数方程转化为一般方程的方法有很多，主要根据实际情况消去参数，从而转化为一般方程．下面重点介绍比较常用的代数消元法和三角公式消元法．首先是代入消元法．例1.1 化物体的运动方程 020cos ,sin ,2x v t a gt y v t a =⎧⎪⎨=-⎪⎩ （0t T ≤≤）为一般方程． 解 由方程组的第一个式子得0/(cos )t x v a =,代入方程组第二式子得2220/(2cos ),y xtga gx v a =-即222200sin 22cos 0gx v a x v a y -⋅+⋅=．这是抛物线方程．下面介绍应用三角公式消元法．例1.2 化下列参数方程为一般方程:（１）sec ,,x a y btg θθ=⎧⎨=⎩（θ为常数） （２）1cos ,sin ,x y tg θθθ=+⎧⎨=+⎩ （0/2θπ<<）解（1）原方程即sec ,,x a y tg bθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 22-①②，得22221x y a b -= ．这是双曲线的标准方程． 当2222n n πππθπ-<<+，（n 是整数）时，sec 0x a θ=>,参数方程表示双曲线的右面一支；当32222n n πππθπ+<<+ 时，表示双曲线的左面一支． （2）原方程即1cos ,sin ,x y tg θθθ-=⎧⎨-=⎩③④÷④③，得1y tg tg x θθ-=-．由此，y tg x θ=．代入④得sin y y xθ-=．⑤ 22+③⑤，得22(1)()1y x y x -+-=，即2222()(1)x y x x +-=，(12,0)x y <<>． 1.2.2 平面曲线的一般方程转化为参数方程我们也可以把平面曲线的一般方程(,)0F x y =改写为参数方程(),().x t y t φϕ=⎧⎨=⎩一般地，根据实际情况选取参数t ，找出x 与参数t 的关系式()x t φ=，然后代入原方程求出()y t ϕ=，那么，()x t φ=，()y t ϕ=就是曲线的参数方程．也可以先求出()y t ϕ=，然后，代入原方程得出曲线的参数方程.[4]例1.3 化普通方程222220x xy y x y +++-=为参数方程，其条件是2x t t =-． 解 把条件2x t t =-代入原方程，得22222()2()2()20t t t t y y t t y -+-++--= 解得2y t t =+或232y t t =-+，所以曲线的参数方程为22,,x t t y t t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数）或22,3 2.x t t y t t ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩ (其中t 为参数)．第二种类型，没有任何条件需要自己选择参数表示出恰当的函数关系． 例1.4 化平面曲线的普通方程222360x y --=为参数方程．解 由原方程可得22236x y -=，即221-=，根据三角公式22sec 1tg θθ-=sec θ=，tg θ=，所以参数方程为,,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. 2 空间曲线方程的形式2.1空间曲线的一般方程空间曲线一般方程的定义[3] 空间曲线可以看做是两个曲面的交线． 设两个曲面的方程分别为(,,)0F x y z =和(,,)0G x y z =，它们的交线为C ．因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(,,)0,(,,)0.F x y zG x y z =⎧⎨=⎩（2.1）反过来，如果点M 不在曲线C 上，那么它不可能同时在这两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组（2.1）．因此，曲线C 可以用方程组1（）来表示，方程组1（）叫做空间曲线C 的一般方程.例2.1 方程组22216,2,x y z z ⎧++=⎨=⎩表示什么曲线？解 此方程组是以原点为球心，以4为半径的一个球面被平面2z =所截后得到的截口曲线，这一曲线表示的是圆2212,2.x y z ⎧+=⎨=⎩也可以理解为中心轴是z 轴的圆柱面2212x y +=被平面2z =所截后得到的截口曲线．2.2 空间曲线的参数方程空间曲线参数方程的定义[3] 空间曲线C 的方程除了一般方程之外，也可以用参数形式表示，只要将C 上动点的坐标,,x y z 表示为参数t 的函数(),(),().x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩（2.2）当1t t =时，就得到C 上的一个点111(,,)x y z ；随着t 的变动便可得曲线C 上的全部点．方程组（2.2）叫做空间曲线的参数方程.例2.2 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，这个动点的轨迹叫圆柱螺旋，试建立圆柱螺旋线的方程．解 设动点M 在半径为R 的圆柱面222x y R +=上以角速度ω做圆周运动．同时又以线速度μ沿圆柱面轴线方向做等速度直线运动，则点M 的运动轨迹就是圆柱螺旋线．先建立空间直角坐标系．设动点由0M 出发经时间t 运动到点(,,)M x y z ．记M 在xOy 面上的投影为'M ，它的坐标为(,,0)x y ，由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，所以经过了时间t 后，0'M OM t ω∠=，从而，0'cos 'cos ,x OM M OM R t ω=∠=0'sin 'sin y OM M OM R t ω=∠=．又由于动点同时沿平行与z 轴的正方向匀速上升，线速度为μ，所以'.z M M t μ==因此，圆柱螺旋线的参数方程为cos ,sin ,,x R t y R t z t ωωμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ 0t ≤≤+∞．令t θω=，而t θω=，则圆柱螺旋线可用θ作参数方程表示，即 c o s s i n ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞． 这里 b μω=． 3 空间曲线方程不同形式的互化空间曲线的参数方程与一般方程是建立在平面曲线方程的基础之上的．因此，我们类比平面曲线方程两种形式间的转化方法得出空间曲线不同形式间的转化方法．3.1 空间曲线的参数方程转化为一般方程将空间曲线的参数方程化为一般方程应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．下面重点介绍空间曲线的参数方程化为一般方程的代入消元法和三角公式消元法．3.1.1 代入消元法将空间曲线的参数方程转化为一般方程时，代入消元法是最常用的一种方法，同时也是最基本的一种方法．例3.1 一个动点绕定直线做等角速度圆周运动，同时沿该直线的方向做等速直线运动，试建立这个动点轨迹的一般方程．解 由例2．2可知动点轨迹的参数方程为cos ,sin ,,x R y R z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩0θ≤≤+∞．接下来，我们将此参数方程转化为一般方程．我们运用代入消元法消去参数θ，由z b θ=得出z b θ=，然后代入cos x R θ=或sin y R θ=，可得cos z x R b =或sin z y R b=． 又由cos x R θ=和sin y R θ=得到222x y R +=．因此，动点运动轨迹的一般方程 为222,sin ,x y R z y R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩或222,cos .x y R z x R b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩例3.2 化空间曲线的参数方程()()()261,1(1),22,3x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩为一般方程．解 由()3可知2z t =，将2z t =代入1（）和(2)得空间曲线的一般方程为 231,1.2x z z y =+⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩由例3.1，3.2可以看出对于某些形式的参数方程用代入消去法化为一般方程非常方便．3.1.2 三角公式消元法三角公式消元法的运用也非常广泛．例3.3 化下列空间曲线的参数方程（1） ()()()3sin ,5sin ,4cos ;x y z θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅰⅱⅲ (02)θπ≤≤（2） ()()()sec ,,2sec .x y tg z ααα=⎧⎪=⎨⎪=⎩ⅳⅴⅵ (02)απ≤≤为一般方程．解由()()(),,ⅰⅱⅲ可知：sin 35x y θ==，cos 4z θ=，又因为22cos sin 1θθ+=, 因此曲线的一般方程为22,35 1.2516x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ （2）由()()(),,ⅳⅴⅵ得：sec 2z x α==，tg y α=，因为22sec 1tg αα-=，所以曲线 的一般方程为22,21.z x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩ 综上所述，将空间曲线的参数方程化为一般方程的方法很多，应根据参数方程的具体形式，决定消去参数的方法．3.2 空间曲线的一般方程转化为参数方程将空间曲线的一般式方程12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩化为参数方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩是一个难点．将空间曲线的普通方程转化为参数方程时，选取参数对我们来说是十分重要的．当我们选取不同的参数时，同一曲线的参数方程就可以有不同的形式．选取恰当的参数，方程将会有比较简单的形式．我们采取的方法一般是先根据实际情况，给出其中一个或两个变量关于参数t 的方程，然后再代入空间曲线的一般方程，从而得到曲线的参数方程．将空间曲线的一般方程转化为参数方程的方法有很多，包括代入法、有理因式法、三角法、斜率法，此外还可采用把曲线投影到坐标面上的方法，利用对称式方程等方法.[5]3.2.1 三角公式法若方程经过恒等变形可出现22sin cos 1a a +=，22sec 1a tg a -=，1tga ctga ⋅=，则可用三角公式法．例3.4已知半径为R 的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，那么这时球面与圆柱面的交线叫做维维安尼曲线，求维维安尼曲线的参数方程式．解 由已知条件，我们得到曲线的一般方程相对来说比较简单，再将一般方程化为参数方程．我们取球心为坐标原点，过球心的圆柱面的一条直径为x 轴，通过球心的圆柱面的一条母线为 z 轴，建立直角坐标系．得到的球面的方程为2222x y z R ++=，圆柱面的方程为220x y Rx +-=．因此，维维安尼曲线的一般方程为222222,0.x y z R x y Rx ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩我们再将上述方程转化为参数方程．首先，结合我们之前所学的平面曲线的知识，圆柱面方程220x y Rx +-=的参数方程为2cos ,cos sin .x R y R θθθ⎧=⎨=⎩我们再将其代入球面方程2222x y z R ++=得到sin z R θ=±．因此，我们得出曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 0θπ≤< 与2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩0θπ≤<．如果我们令t θπ=+，即t θπ=-，代入公式后，上式就变成了2cos ,cos ,sin ,x R t y R t z R t θ⎧=⎪=⎨⎪=⎩2t ππ≤≤．因此，维维安尼曲线的参数方程为2cos ,cos sin ,sin ,x R y R z R θθθθ⎧=⎪=⎨⎪=⎩02θπ≤≤．例3.5 把 ()()2222216,140,2x y z x y x ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩ 化为参数方程． 解 由2240x y x +-=得22(2)4x y -+=．令22cos ,2sin ,x y θθ-=⎧⎨=⎩可得222cos 2(1cos )4cos 2x θθθ=+=+=， 22sin cos 4sin cos 2222y θθθθ==．设2t θ=， 则24cos x t =，4sin cos y t t =，代入1（）得422216cos 16sin cos 16t t t z ++=．所以，2216sin z t =，4sin z t =±．曲线的参数方程为24cos ,4sin cos ,4sin ,x t y t t z t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩t ππ-≤≤．3.2.2 代入法对于空间曲线的一般方程，方程组中一个方程的形式非常简单，例如y x =, z a = (a 为常数)等，可以直接将形式简单方程带入另一个方程，再利用三角法求得参数方程．例3.6 化下列一般方程为参数方程．（1）2229,;x y z y x ⎧++=⎨=⎩（2）222(1)(1)4,0.x y z z ⎧-+++=⎨=⎩ 解（1）将y x =代入2229x y z ++=，得222213x z +=，令x t=，则3sin z t =，因此，所求的参数方程为,,3sin ,x t y t z t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩02t π≤≤． （2）将0z =代入222(1)(1)4x y z -+++=，得22(1)3x y -+=，令1c o s x t -=，则y t =，则所求的参数方程为1,,0,x t y t z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩02t π≤≤．3.2.3 投影法利用曲线投影到坐标面上的方法，通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的．例3.7 将曲线L 的一般式方程222340,2210,x y z x y z x y z ⎧++-+--=⎨--+=⎩化为参数方程.[6]解 在方程中消去z ，得到曲线L 在xoy 平面上的投影曲线为22'58540,:0.x xy y x y L z ⎧-+++-=⎨=⎩配方后，得22'(1)9()9,:0.x y x y L z ⎧+++-=⎨=⎩ 在xoy 平面上作坐标变换111,,x x y y x y =++⎧⎨=-⎩得到'L 的标准方程 2211'1,:910,x y L z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩此为椭圆方程，其参数方程为'11:3cos ,sin ,0L x t y t z ===， 代回原变量，得 '3cos sin 13cos sin 1:,,022t t t t L x y z +---===． 将,x y 代入L 的方程，得2sin 1z t =+从而得L 的参数方程3cos sin 1,23cos sin 1,22sin 1.t t x t t y z t +-⎧=⎪⎪--⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩3.2.4 利用对称式方程法当空间曲线为直线时，可以先求出直线的对称式方程，再利用直线的对称式方程求直线的参数方程变很容易了．例3.8 求直线1,24,x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的参数方程．解 令1x =，则0,2,y z y z -+=⎧⎨+=⎩，得1,1.y z =⎧⎨=⎩从而得直线上的一点(1,1,1)． 我们取直线的方向向量为1211123211ij k s n n i j k =⨯=-=-++，于是对称式方程为111213x y z ---==-，令111213x y z t ---===-，则参数方程为12,1,13.x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩综上所述，将空间曲线的一般方程化为参数方程是一个难点也是一个关键点，我们必须根据空间曲线一般方程的特点，选取恰当的参数．4 结束语本篇论文主要介绍了空间曲线方程的两种形式，即一般方程和参数方程，以及它们之间的相互转化方法．参数方程转化为一般方程时，主要介绍了代入消元法，应用三角公式消元法等方法．对于一般方程转化为参数方程，介绍了代入法，三角公式法，投影法等．我们应根据方程的具体形式选取恰当的方法．此外，空间曲线的一般方程和参数方程的互化有两点注意事项，即等价性和同解性.这是因为参数方程中参数的不同取值确定着不同的曲线．在空间曲线方程的系数参数问题中，突出的反映了解析几何数和形的对立统一思想，要特别注意变量的取值范围在互化前后要保持一致．将空间曲线的参数方程化为一般方程时，如果仅仅从空间曲线的一般方程(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩消去参数t 得到12(,,)0,(,,)0,F x y z F x y z =⎧⎨=⎩并不一定是曲线对应的一般方程，它有可能具有不能从的某值通过得出的解，从而给原曲线增加了新的点．将曲线的一般方程化为参数方程时要注意标明参数的取值范围．把参数方程化成一般方程时，要注意方程的同解性是否被破坏．有时参数方程中的参数取值有范围的限制，图像只表示曲线的一部分，然而在消去参数后，得到一般方程的图像却是曲线的整体．这样，一般方程与原来的参数方程表示的曲线就不完全相同了．因此，在转化过程中，要注意参数方程中参数所受的限制在所化的一般方程中的图像予以反映出来.[1]总之，在空间曲线的参数方程和一般方程相互转化时要保持方程的等价性和同解性，使结果完整准确．参考文献[1]张荣锋．空间曲线参数方程与一般方程互化[N]．长春师范学院学报，2010-2．[2]吕林根，许子道．解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2006:96-99．[3]邢佳,郭金萍．高等应用数学[M]．天津：天津大学出版社，2013：236-237．[4]王祥林．化普通方程为参数方程[J]．黄淮学刊，1989（2）：93-94．[5]宋研．曲线参数方程和直角坐标方程的互化[J]．中国校外教育（下旬刊），2013（z1）:595．[6]冷劲松．建立空间曲线的参数方程的方法及应用[D]．成都：电子科技大学，1998-6．。