§5.1 数系的扩充与复数的引入
江西省永新县任弼时中学 文辉
【教学目标】
（1） 了解引进复数的必要性，理解复数的基本概念，了解复数的代数法表示，
理解虚数单位，理解复数相等的充要条件.
（2） 了解复数的几何意义，理解复数模的概念，了解复数与复平面内的点的
对应关系.
（3） 体会实际需求与数学内部的矛盾在数学扩充过程中的作用，感受人类理
性思维在数系的扩充过程的作用以及数与现实世界的联系。

（4） 通过复数与复平面内的点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内
在联系.
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i 的必要性，对i 的规定，复数的有关概念. 难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数的概念的理解.
教学方法：1.启发式教学法.
2.激励---探索---讨论---发现.
教具准备：多媒体，投影仪.
教学过程
Ⅰ.课题导入
㈠引导学生回顾数的变化发展过程
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N .
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展.
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和零)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么﹛有理数﹜=﹛分数﹜=﹛循环小数﹜.
有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R .因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以﹛实数﹜=﹛小数﹜.
㈡设置问题情境，探究实践 问题①：请类比引进2，就可以解决方程02x 2=-在有理数集中无解的问题，怎么解决方程01x 2=+在实数集中无解的问题？
意图通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始.
问题②： 引入的新数i 是个什么数呢？它有什么特征？
引入虚数单位的概念及性质 i 2 =－1 ，强调i 不同于任何实数，它是一种新的数。

此时学生解决了方程无解问题.
Ⅱ.新课讲授
研习点（1）
1.请同学们阅读课本相关内容，自主完成填空题.
⑴虚数单位：数____________叫做虚数单位，具有下面的性质：
①_______________________,
②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律_______.（填成立或不成立）
⑵复数：形如______________________________叫做复数，常用字母________表示，即复数的代数形式为___________________，其中______叫做复数的实部, ___叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都___数．全体复数构成的集合叫做________，常用字母____表示．
2.探讨
⑴复数集C 与数集N 、Z 、Q 、R 之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用图表示出来吗？
⑷你认为两个复数a+bi 与c+di 相等的充要条件是什么？
a+bi=c+di (a,b,c,d ∈R)当且仅当a=c 且b=d.
特别地，a+bi=0 (a,b ∈R)当且仅当a=b=0.
两个不全是实数的复数不可以比较大小，只有相等与不相等之分.
a bi ⎧⎪+⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（b=0）复数纯虚数（a=0）虚数(
b 0)非纯虚数（a 0）
3.巩固练习：说出下列三个复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数指出是否为纯虚数： (1)4+3i; (2)-5i (3)
()()()()1
11231x x x i ++- 、当实数分别取什么值时，复数z=是实数;虚数;纯虚数.
例1-1.
x x x x ∈+ 分析与探究：因为R ，所以、都是实数，由复
数z=a+bi 是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定实数
解：
练习 A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
答案：A
.
∈ 、设x,ｙR ，并且(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i ，求x,y 的值例2 分析与探究：根据复数相等的充要条件
a+bi=c+di(a,b,c,d ∈R)当且仅当a=c,b=d
巩固练习：求适合下列方程中实数x,y 的值：
(1)(-2x+3)+(y-4)i=0;
(2)(3x-2y)-(x+2y)i=3-6i.
()()()1
-1=0=1.2-10 1.3+1=0-10=-1.
x x x x x x x x x x ≠≠≠要使z 是实数，需满足，解得要使z 是虚数，需满足，解得要使z 是纯虚数，需满足且，解得22i 21(1)(1)z x x i x =-+-、若复数为纯虚数，
则实数的值为 ( )232111.x y x y x y +=-⎧⎨-=-⎩=⎧⎨=-⎩解 由复数相等的充要条件，得，解这个方程组，得
研习点(2)（目的：掌握复数的几何意义） 1、复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面，x 轴称为实 轴，y 轴称为虚轴。

实轴上的点都
表示实数；虚轴上的点除原点外都
表示纯虚数。

2练习：在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模：
()()()()123413
1232341222z i z i =-=-+； z =+i; z =-3-i ;
2、小结：复数的几何意义
()1=oz 复数z=a+bi ，
复平面内的点Z(a,b)
和平面向量 (a,b)
之间 的关系如图：
()222,.
(3)OZ z z a bi a b =+=+点Z(a,b)到原点的距离叫作复数z 的模或绝对值，
记作两个复数一般不能比较大小，但可以比较它们的模的大小.
y
x 10
8
6
4
2
2
4
6
105
5100
Ⅲ.变式体验（触类旁通，学以致用，让我们一起来吧！）
拓展*变式
分析：复数z=a+bi (a,b∈R )的在复平面的位置完全取决于
它的实部与虚部所满足的要求条件.
Ⅳ.课堂小结：
1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i 的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；
2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；
3、理解并掌握复数的代数形式和了解复数的几何意义。

Ⅴ.布置作业：
1.下列类比推理
()
()()()22lg 223212.
z m m m m i =--+++ 当实数m 满足何条件时，复数分别是：z>0；对应的点在复平面内的第四象限内 222213203122120m m m m m m m m m m z ⎧-->⇒⎨++=⎩><-⎧⇒=-⎨=-=-⎩=->解：（1）或，或即当时，.2222121,32021m m m m m m ⎧-->⇒-<<-⎨++<⎩-<<-（2）即当时，z 对应的点在复平面的第四象限内.
()
()()22221,0,02,00,00;3,0,0a b R a b a b a b C a b a b a b R a b a b a b C a b a b a b R a b a b a b C a b a b ∈-=⇒=∈-=⇒=∈+=⇒==∈+=⇒==∈->⇒>∈->⇒>“若、则”类比推出“若、则”；“若、则”类比推出“若、则”“若、则”类比推出“若、则”.其中类比结论正确的是_____________________.
2.
Ⅵ.教学反思
要使学生真正参与到学习中来，发挥他们在学习中的主体作用，教学应从学生的已有认知基础出发，同时注意到他们的生活经验和情感需求，在设计时要充分地运用学生对已有的数的扩充规律，可以启发学生的思维。

为了使学习层层深入，突出用数学知识求解问题的原则，我们用到了类比的方法引导学生从实数集到复数系的扩充，彰显了用数学思考问题的方法。

()()()()()()22lg 22321234z m m m m i =--+++ 当实数m 满足何条件时，复数分别是：零；纯虚数；对应的点在复平面的实轴上；
在实轴下方（不包括实轴）.。