图形
定义
性质及判定
_r _O
_d
_l
直线与圆没有公共点．
d r 直线 l 与⊙O 相离
_r
_O
_d
_l
直线与圆有唯一公共点,直线叫做 d r 直线 l 与⊙O 相切
圆的切线，唯一公共点叫做切点．
_r
直线与圆有两个公共点，直线叫做
_d _O
_l
d r 直线 l 与⊙O 相交
圆的割线.
从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示:
_O _l
_A
_O
_A
_l
_O _l
_A
证明一直线是圆的切线有两个思路:（1)连接半径,证直线与此半径垂直;(2）作垂线，证垂足在圆上
②切线的性质定理及其推论
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
我们分析:这个定理共有三个_A条件：一条直线满足:(1)垂直于切线(2）过切点 （3)过圆心
定理：①过圆心，过切点 垂直于切线
能判定一条直线是否为圆的切线；能 利用直线和圆的位置关系解决简单问 题
能解决与切线有关的 问题
画圆的切线
切线长 了解切线长的概念
会根据切线长知识解决简单问题
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
1、设⊙O 的半径为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d ，则直线和圆的位置关系如下表:
位置关系 相离 相切 相交
_O
_A
_T
_O
_M
_T
_B
OA 过圆心， OA 过切点 A ，则 OA AT
②经过圆心，垂直于切线 过切点
1 AB过圆心
2
AB
MT
M
为切点
③ 经过切点，垂直于切线 过圆心
1 AM MT 2 M为切点
AM
过圆心
三、三角形内切圆
1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫 做圆的外切三角形． 2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形． 3.直角三角形的内切圆半径与三边关系
直线和圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点名称 直线名称
2 d r 交点 割线
1 d r 切点 切线
0 d r
无 无
二、切线的性质及判定
1． 切线的性质: 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论２：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
M
C
O B
P A
A
【例6】 如图, ABC 中, AB AC ， O 是 BC 的中点,以 O 为圆心的圆与 AB 相切于点 D 。
)
A. 4 3 ‫ﻩﻩ‬B． 4
C． 2 3 ‫ ﻩ‬D． 2
【巩固】如图， AB 与⊙O 相切于点 B ,线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D , AOB 60 , BC 4cm ,则切线 AB cm .
【例3】 如图,若 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30 ,切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D ,且 O 的半径为
2． 切线的判定: 定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3． 切线长和切线长定理: ⑴ 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线
长． ⑵ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角．
2,则 CD 的长为( )
Ａ． 2 3 ‫ ﻩ‬Ｂ. 4 3
C.2 D．4
D C
E
O
B
A
_C
_A _O
_B _D
例2
巩固
【巩固】如图，EB 为半圆 O 的直径,点 A 在 EB 的延长线上, AD 切半圆 O 于点 D ，BC AD 于点 C ，AB 2 ,
半圆 O 的半径为 2 ，则 BC 的长为___＿__＿______＿_．
【例4】 如图,已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯形上底 AD 、下底 BC 以及腰 AB 均相切,
切点_A 分别是_D
D
，C
，E
.求证:以
AB
为直径的圆与
_A
CD
相_D切.
_O
_O
_B
_C
_B
_C
例４
巩固
【巩固】如图，已知以直角梯形 ABCD 中，以 AB 为直径的圆与 CD 相切,求证：以 CD 为直径的圆与 AB 相
①切线的判定定理 设 OＡ为⊙O 的半径,过半径外端 A 作 l ⊥OＡ,则 O 到 l 的距离 d=ｒ,∴ l 与⊙Ｏ相切．因此，我 们得到:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注:定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”,两个条件缺一不可.结论是“直线是圆的切 线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙Ｏ的切线．
_A
_A
_c
_b
_b
_B
_a
_C _C
_c
_a
_B _B
_A _D
_O
_F
_E _C
(1）
（２)
图(１)中,设 a ，b ，c 分别为 ABC 中 A，B ，C 的对边,面积为 S
则内切圆半径（１） r s ，其中 p 1 a b c ; 图（２）中， C 90，则 r 1 a b c
讲义－直线与圆的位置关系
———————————————————————————————— 作者: ———————————————————————————————— 日期：
板块
A 级要求
考试要求 B 级要求
C 级要求
了解直线与圆的位置关
直线与圆的 位置关系
系;了解切线的概念，理 解切线与过切点的半径 之间关系;会过圆上一点
p
2
2
四、典例分析:切线的性质及判定
【例1】 如图， AB 是 O 的直径,点 D 在 AB 的延长线上，过点 D 作 O 的切线，切点为 C ,若∠A 25,
则∠D _____＿．
B
O
A
O
D
B
OD
A
C
A
B
C
例1
例2
巩固
【例2】 如图，直线 AB 与⊙O 相切于点 A ，⊙O 的半径为 2 ,若 OBA 30 ,则 OB 的长为(
切.
【例5】 已知：如图，在 ABC 中， AB AC ,以 BC 为直径的半圆 O 与边 AB 相交于点 D ,切线 DE AC ，
_A
垂足为点 E . 求证:（１) ABC 是等边三角形;（２） AE 1 CE ． 3
_E
点 M ,直线 OP 交⊙O 于点 A、B ，弦 AC ∥ MP ,求证： MO ∥ BC .