一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：二、切线的性质及判定1． 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线．_ A_l _ l _A_l上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．三、三角形内切圆1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系（1） （2）图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12p a b c =++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12r a b c =+-四、典例分析：切线的性质及判定_ O_F _E_ D _ C _ B_ A_ C_ B _ A _ C_ B_ A_c_ b _a_c_ b_a_T _A【例1】 如图，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作O 的切线，切点为C ，若25A =︒∠，则D =∠______．例1例2巩固【例2】 如图，直线AB 与O ⊙相切于点A ，O ⊙的半径为2，若30OBA ∠=︒，则OB 的长为()A ．B ．4C ．D ．2【巩固】如图，AB 与O ⊙相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，60AOB ∠=︒，4cm BC =，则切线AB = cm ．【例3】 如图，若O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30︒，切线CD 与AB 的延长线交于点D ，且O 的半径为2，则CD 的长为（ ） A ．B ．C ．2D ．4巩固【巩固】如图，EB 为半圆O 的直径，点A 在EB ，BC AD ⊥于点C ，2AB =，半圆O 的半径为2，则BC 的长为_______________．【例4】 如图，已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切，切点分别是D C E ，，．求证：以AB 为直径的圆与CD 相切．例4 巩固【巩固】如图，已知以直角梯形ABCD 中，以AB 为直径的圆与CD 相切，求证：以CD 为直径的圆与ABAD_ A _ O_ C _B_MC相切．【例5】 已知：如图，在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE AC ⊥，垂足为点E ． 求证：（1）ABC ∆是等边三角形；（2）13AE CE =．【巩固】如图，MP 切O ⊙于点M ，直线OP 交O ⊙于点A B 、，弦AC MP ∥，求证：MO BC ∥．【例6】 如图，ABC ∆中，AB AC =，O 是BC 的中点，以O 为圆心的圆与AB 相切于点求证：AC 是O 的切线。
【例7】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ， OA r =。
（1）求证：CD 是O 的切线；（2）求AD OC ⋅的值；（3）若92AD OC r +=，求CD 的长。
【巩固】 如图，已知AB 是O 的直径，BC 是和O 相切于点B 的切线，过O 上A 点的直线AD OC ∥，若2OA =且6AD OC +=，则CD = 。
CB AODCBA【巩固】 如图，AB 是半圆（圆心为O ）的直径，OD 是半径，BM 切半圆于B ，OC 与弦AD 平行且交BM于C 。
（1）求证：CD 是半圆的切线；（2）若AB 长为4，点D 在半圆上运动，设AD 长为x ，点A 到直线CD 的距离为y ，试求出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
【例8】 如图，AC 为O 的直径，B 是O 外一点，AB 交O 于E 点，过E 点作O 的切线，交BC 于D 点，DE DC =，作EF AC ⊥于F 点，交AD 于M 点。
（1）求证：BC 是O 的切线；（2）EM FM =。
【例9】 如图，割线ABC 与O 相交于B 、C 两点，D 为O 上一点，E 为BC 的中点，OE 交BC 于F ，DE 交AC 于G ，ADG AGD ∠=∠。
（1）求证：AD 是O 的切线；（2）如果242AB AD EG ===，，，求O 的半径。
【例10】 如图，已知点E 在ABC ∆的边AB 上，以AE 为直径的O ⊙与BC 相切于点D ，且AD 平分BAC ∠．求证：AC BC ⊥．【巩固】AB 是圆的直径，BC 是它的弦，过C 作圆的切线CD ，过B 作BEABC EBC ∠=∠．【例11】 如图，已知Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径作O ⊙交AC 于D ，过D 作O ⊙的切线DED CBAE_ A_ O_ B_ C _ D _E交BC 于E ．求证：BE CE =．【巩固】如图，已知O ⊙的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA EC =，延长EC 到点P ，连结PB ，若PB PE =，试判断PB 与O ⊙【例12】 如图，点P 在O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切O 于点C，连结BC ．（1）求P ∠的正弦值；（2）若O 的半径2cm r =，求BC 的长度．【巩固】在Rt ABC△中，90ACB ︒∠=，D 是AB 边上一点，以BD 为直径的O ⊙与边AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点F ． （1）求证：BD BF =；（2）若64BC AD ==，，求O ⊙的面积．【例13】 如图所示，AB 是O ⊙直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交O ⊙于点E ，若AEC ODB ∠=∠．（1）判断直线BD 和O ⊙的位置关系，并给出证明； （2）当108AB BC ==，时，求BD 的长．【巩固】已知：如图，⊙O 的直径AB =8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ．_PB（1）若120ACP∠=︒，求阴影部分的面积；（2）若点P在AB的延长线上运动，CPA∠的平分线交AC于点4tan60PC=⋅︒=，∠83OPCS S Sπ∆=-=阴影扇形BOC的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠12的度数．【例14】在平行四边形ABCD中，1060AB AD m D==∠=︒，，，以AB为直径作O⊙，（1）求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示)；（2）当m取何值时，CD与O⊙相切．【例15】已知：如图，O⊙的直径AB与弦CD相交于E，BC BD=，O⊙的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD BF∥．（2）连结BC，若O⊙的半径为4，3cos4BCD∠=，求线段AD CD、的长．【巩固】如图，在ABC∆中，90C∠=︒，34AC BC==，．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D E，，连结DE．（1）当3BD=时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F形．A_C典例分析：切线长定理及切线性质的应用【例16】在Rt ABC∆中，90A∠=︒，点O在BC上，以O为圆心的O分别与AB、AC若AB a=，ACb=，则O的半径为（）AB、a bab+C、aba b+D、2a b+【例17】如图，AB BC⊥，DC BC⊥，BC与以AD为直径的O相切于点E，9AB=，4CD=，则四边形ABCD的面积为。
【例18】如图，过O外一点P作O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，连结AB，在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F，使AD BE=，BD AF=，连结DE、DF、EF，则EDF∠=（）A、90P︒∠－B、1902P︒-∠C、180P︒-∠D、1452P︒∠-【例19】如图，已知ABC∆中，AC BC=，CABα∠=（定值），O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q。
（1）求POQ∠；（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断DOE∠的大小是否保持不变，并说明理由。
【例20】如图，O为Rt ABC∆的内切圆，点D、E、F为切点，若6AD=，4BD=，则ABC∆的面积为。
CFBACEBNQPODCBAC EFBFCBA。