图像处理中的小波变换算法原理及其应用
摘要：小波分析是近年来迅速发展起来的一个数学分支，由于它在时间域和频率域里同时具有良好的局部化性质，因而在图像处理领域有着日益广泛的应用。
随着数字图像处理需求的不断增长，相关应用也不断的增长，文章以一例图像处理过程为例，阐述了基于小波二维变换的图像处理方法在图像处理过程中的应用。
关键词：小波变换；图像；分解
1小波变换的基本概念及特点
小波定义：（t）∈L2（R）,其傅里叶变换为（），当满足允许条件，即完全重构条件或恒等分条件。
C=∞-∞d＜∞时，我们称（t）为一个基本小波，或者母小波。
将母函数（t）经伸缩和平移后，得:
a,b（t）=（）,a,b∈R,a≠0
我们称其为一个小波序列。
其中a为伸缩因子，b为平移因子。
小波变换是一种信号的时间-尺度分析方法，它具有多分辨率分析的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，是一种窗口大小固定不变但其形状可变，时间窗和频率窗都可变的时频局部化分析方法。
在低频部分具有较高的频率分辨率和时间分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，因此被誉为分析信号的显微镜。
小波分析是把信号分解成低频A1和高频D1两部分，在分解中，低频A1失去的部分由高频D1捕获。
而在下一层分解过程中，又将A1部分分解为低频A2和高频D2两部分，如此类推，可以进行多层分解。
2二维离散小波变换
在图像分解过程中，图像的小波分解就是二维小波的离散化分解。
在此可取a=a0j，b=b0j,这里，j∈z，取a0＞1,则离散小波函数可写为j，k（t）。
j，k（t）=（）=（a0-jt-kb0）
离散化变换系数可表示为:
Cj,k +∞-∞ f（t）j，k（t）dt=（f,Cj,k）
其重构公式为：
f（t）=CCj,k j，k（t）
其中，C为与信号无关的常数。
在重构过程中，a0，b0要尽可能的小，这样，网络点就多，信号重构的精度就越高，但同时，计算量就越大。
图像的小波分解就是二维离散小波变换过程，可描述如下：在变换的每一层，使原图像与一个小波基做内积，再经过水平和垂直方向的两次2倍间隔采样，图像被分解为4个四分之一大小的图像，包括1个逼近子图，水平、垂直、对角线方向各一的3个细节子图。
图像的分解可以按照以下步骤进行：
第一层变换时，先将原图像和小波基做内集，再沿水平和垂直方向分别采样，可得到下式。
A1f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]
D1（1）f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]
D1（2）f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]
D1（3）f（x1，x2）=[f（x1，x2），（x1-n1），（x2-n2）]
其中，f（x1，x2）为二维图像信号，A1f（x1，x2）表示信号的低频部分，D1（x）f（x1，x2）表示水平、垂直及对角线方向的细节（高频）部分，（t）为正交小波，（t）为二维基本小波。
在此基础上，可以对A1f（x1，x2）进行再次分解，分解后结果可写为A2f（x1，x2）部分和D2（x）f（x1，x2）部分，依次迭代下去，即可得到Mallt算法[1]下的多分辨率分解，同样，逆向即可得其三层分解图像重构（见图1）过程。
3实际实现与结果分析
图3表示对图2的信号分解(即第一级小波分解)后的4个成分(或称为4个子图像)。
由图可见，D1（1）f（x1，x2）表现水平方向上的高频成分，D1（2）f （x1，x2）表现垂直方向上的高频成分，D1（3）f（x1，x2）表现对角线方向上的高频成分。
另外，A1f（x1，x2）表现对A1平均化的低频成分。
在图像分解过程中，总的数据量既没有增加也没有减少。
但是，一个图像经过小波变换后，得到一系列不同分辨率的子图像，即表示低频成分的子图像及表现不同方向上高频成分的子图像。
高频成分的子图像上大部数值都接近于0，越是高频这种现象越明显。
所以，对于一幅图像来说，包含
图像主要信息的是低频成分，而高频成分仅包含细节信息。
因此，一个最简单的图像压缩方法是保存低频成分而丢掉高频部分。
图4表示只利用1级分解后的低频成分（左上角的子图像）进行图像恢复的结果。
可以看出与原图像有一些细微的不同，丢失了一部分细节信息。
4结语
小波分析方法已经在图像处理的过程中得到了广泛的应用，并且还出现了脊波（Ridgelets）、方向波（Directionlets）和剪切波（Shearlets）等改进类型，随着小波分析方法的发展，必将在靶场图像处理过程中得到更为广泛的应用和发展。
参考文献：
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