学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：3 课 题 数学思想方法问题教学目的教学内容一、【中考要求】1． 利用建模思想准确选择方程、不等式、函数解决问题；2． 利用分类讨论思想解决数学问题，确保结论不重复、不遗漏。

3． 利用转化思想准确在实际问题、数学问题间相互转化； 4． 利用数形结合思想解决数学问题。

二、【考点知识梳理】数学思想方法是学习数学知识的精髓，是培养数学分析问题、解决问题能力提升的有效途径，在数学学习过程中，如果经常反思总结一些数学思想方法，能达到触类旁通的解题目的，而且能节省审题时间，因此，在中考冲刺阶段一定要多进行题后反思的环节，力争通过反思数学思想方法达到“做一题，会一类”的目的．初中数学思想主要有：①转化思想；②数形结合思想；③整体思想；④分类讨论思想；⑤函数与方程的思想；⑥统计思想；⑦特殊到一般的思想等．现就常用数学思想方法举例说明如下： 1．转化思想数学中考题是千变万化的，而其中蕴含的数学思想方法是不变的，如新知识问题转化为旧知识问题，较复杂问题转化为简单问题等，都要用到转化的思想方法．2．数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质去解决几何图形的问题，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决的一种数学思想．在初中阶段涉及数形结合思想的内容有：数轴、函数、三角形、四边形、圆、列方程(组)解应用题等．数形结合思想方法的应用，可帮助我们理解题意，分清已知量未知量，理顺题中的逻辑关系．3．分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论．分类的原则是：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类必须是同一个标准；(3)分类讨论应逐级进行．分类思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题．一般把握一个原则：遇到模棱两可的情况时往往采用分类讨论的思想．比如，遇到“等腰三角形、圆”等相关知识时常用分类讨论的思想．三、【中考典例精析】类型一 转化思想(1)解方程：x x ＋1＝2x3x ＋3＋1.【点拨】解分式方程时，应去分母“转化”为整式方程再求解，最后注意验根．【解答】去分母，得3x ＝2x ＋3x ＋3，整理，得－2x ＝3，解得x ＝－32.经检验，x ＝－32是原方程的根．(2)已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ＝AD ＝2，BC ＝4，求∠B 的度数及AC 的长．【点拨】解决梯形问题时，往往通过作辅助线“转化”为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形去解决，常见辅助线有平移一腰、作高、平移对角线等．【解答】如图，分别作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，F 、G 是垂足．∴∠AFB ＝∠DGC ＝90°.∵AD//BC ，∴四边形AFGD 是矩形，∴AF ＝DG . ∵AB ＝DC ，∴Rt △AFB ≌Rt △DGC ，∴BF ＝CG . ∵AD ＝2，BC ＝4，∴BF ＝1.在Rt △AFB 中，∴cosB ＝BF AB ＝12，∴∠B ＝60°.∵BF ＝1，∴AF ＝ 3.∵FC ＝3，由勾股定理，得AC ＝2 3. ∴∠B ＝60°，AC ＝2 3. 类型二 数形结合思想求满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5>1， ①3x －8≤10 ②的整数解．【点拨】解不等式(组)或求其特殊解时，要借助数轴求解，以防出现错解或漏解．【解答】解不等式①，得x>－2. 解不等式②，得x ≤6.∴－2<x ≤6 在数轴上表示不等式组的解集如下：∴不等式组的整数解是－1,0,1,2,3,4,5,6. 类型三 分类讨论的思想如图⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB ＝3，则弦AB 所对圆周角的度数为( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 【点拨】注意一条弦所对圆周角的度数有两个，这两个圆周角相等或互补．【解答】连结OA 、OB ，过O 作OC ⊥AB 于点C ，在Rt △AOC 中，OA ＝1，由垂径定理得AC ＝32，∴∠AOC ＝60°，∴∠AOB ＝120°，因此弦AB 所对优弧上的圆周角度数为60°，所对劣弧上的圆周角的度数为120°，故选D.四、【课堂练习】1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3x ＋y ＝3的解是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝1C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3 解析：两式左右分别相加，得3x ＝6(转化为一元一次方程)，解得x ＝2，把x ＝2代入②得y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1是原方程组的解，故选B.答案：B2．若点A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)在反比例函数y ＝－3x的图象上，且x 1<0<x 2，则y 1、y 2和0的大小关系是( )A ．y 1>y 2>0B ．y 1<y 2<0C ．y 1>0>y 2D ．y 1<0<y 2解析：数形结合法可选C. 答案：C3．已知⊙O 的半径为13 cm ，弦AB//CD ，AB ＝24 cm ，CD ＝10 cm ，则AB 、CD 之间的距离为( ) A ．17 cm B ．7 cmC ．12 cmD ．17 cm 或7 cm解析：分类讨论的思想方法．如图，当AB 、CD 在圆心的同侧时，在Rt △OAE 中， OE ＝OA 2－AE 2＝132－122＝5(cm)．在Rt △OCF 中，OF ＝OC 2－CF 2＝132－52＝12(cm)．∴EF ＝OF －OE ＝12－5＝7(cm)当AB 、CD 在圆心的异侧时，同理可求出AB 、CD 之间的距离为17 cm ，故AB 、CD 之间的距离为7 cm 或17 cm. 答案：D4．在平面直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数y ＝－x 2＋(k －1)x ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且S △OAB ＝6.(1)求点A 与点B 的坐标； (2)求此二次函数的解析式；(3)如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标． 解：(1)由解析式可知，点A 的坐标为(0,4)．∵S △OAB ＝12×BO ×4＝6，∴BO ＝3，∴点B 的坐标为(－3,0)．(2)把B(－3,0)代入，得－(－3)2＋(k －1)×(－3)＋4＝0，解得k －1＝－53.∴所求二次函数的解析式为y ＝－x 2－53x ＋4.(3)因为△ABP 是等腰三角形，所以①当AB ＝AP 时，点P 的坐标为(3,0)；②当AB ＝BP 时，点P 的坐标为(2,0)或(－8,0)；③当AP ＝BP 时，设点P 的坐标为(x,0)，根据题意得x 2＋42＝|x ＋3|，解得x ＝76，∴点P 的坐标为(76，0)．yxCBOA(第5题图)（第6题图） (第8题图)（第7题图）Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x <<6．已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜07．（10益阳）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x 与火车在隧道内的长度y 之间的关系用图象描述大致是 ( )Ａ． B ． C ． D ．8．(10绍兴)一辆汽车和一辆摩托车分别从A ,B 两地去同一城市,它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误．．的是 ( ) A.摩托车比汽车晚到1 h B. A ,B 间20 km C.摩托车速45 km/h D.汽车速60 km/h二、填空题：9. 直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线y ＝x 2－x －6与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C.如果点M 在y 轴右侧的抛物线上， S △AMO ＝23S △COB ，那么点M 的坐标是10．如图，两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为11．如图，Rt △ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上 的中线BD 反向延长线交y 轴负半轴于E ，双曲线xky =(x ＞0)的图像经过点A ，若S △BEC =8，则k 等__ __． 12．如图，在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ．火车隧道oyxoy xoy xoy x（第10题图）其中正确序号的是 =3x 有 个．a+b= ．的取值范围是，则这五个正整数的和为 .BC铅垂高水平宽 ha 图123． （10泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）． ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？24．（09益阳）、阅读材料： 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为C(1,4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B.（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆；图2xC OyABD 1 1（3）是否存在一点P ，使S △PAB=89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.。