1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度？解：前轴或后轴垂直振动的振动模型简图为图1.2所示，此时汽车振动简化为二自由度振动系统。

2m 为非悬架质量，1m 为悬架质量1. 3设有两个刚度分别为21,k k 的线性弹簧如图T-1.3所示， 试证明：1）它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2）它们串联时的总刚度eq k 为：21111k k k eq +=证明：1) 如图T-1.3(a)所示，21,k k 两个弹簧受到力的作用，变形相同， 即2211k F k F k F eq ==, 而F F F =+21，故有 F F k kF k k eq eq =+21, 从而 21k k k eq +=2）如图T-1.3(b)所示，21,k k 两个弹簧受到相同的力作用 即∆=∆=∆=eq k k k F 2211 （1）且21∆+∆=∆ （2）由（1）和（2）有：)(21k Fk F k F eq += （3） 由（3）得:21111k k k eq += 1.8证明：两个同频率但不同相角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动，即)cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A ，并讨论ϕ=0，ππ,2三种特例。

证明：因t B t B t B ωϕωϕϕωsin sin cos cos )cos(+=-从而有t B t B A t B t A ωϕωϕϕωωsin sin cos )cos ()cos(cos ++=-+令 ()ϕϕϕθ222sin cos sin sin B B A B ++=则()[]t t B B A t B t A ωθωθϕϕϕωωsin sin cos cos sin cos )cos(cos 222+++=-+=())cos(sin cos 222θωϕϕ-++t B B A令C=()ϕϕ222sin cos B B A ++，则有 )cos()cos(cos θωϕωω-=-+t C t B t A当ϕ=0时，C=A+B ；当ϕ=2π时，22B A C +=，22BA arcsin +=B θ ；当ϕ=π时，B A -=C ，0=θ1.13汽车悬架减振器机械式常规性能试验台，其结构形式之一如图T-1.13所示。

其激振器为曲柄滑块机构，在导轨下面垂向连接被试减振器。

试分析减振器试验力学的基本规律（位移，速度，加速度，阻尼力）。

解：tCA F t A xt A xtA x d ωωωωωωcos sin cos sin 2=-===ω2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ，设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：设静平衡位置为原点，向下坐标为正方向，则系统的微分方程为0=+x k xm由题意知，0,200==xx δ，且由mg k =δ，得δmgk =，从而δωgn=设方程的解为)cos(ϕω+=t A x n ，由初始条件有)cos(2t gx δδ=2.2弹簧不受力时长度为65cm,下端挂上1kg 物体后，弹簧长85cm 。

设用手拖住物体使弹簧回到原长后，无初速度地释放，试求物体的运动方程，振幅，周期及弹簧力的最大值。

解：由题意有，mg k =δ，得δmgk =，δωg m k n==，因δ=0.2 (m) , g=9.8 (m/2s )，故)/(7s rad n =ω 以平衡位置为原点，向下为正，可得运动微分方程和初始条件如下：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-==+0,2.00002xx x x nδω故运动方程为t t x n 7sin 2.0)cos(2.0-=-=ω，振幅：0.2m, 周期：πωπ722=n 弹簧力的最大值：（)(6.19)8.91492.0N =⨯+⨯2.3重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上，并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上无弹跳，如图T-2.3所示，求其后的运动。

解：根据题意，取M=1m +2m 所处的平衡位置为原点，向下为正，得系统运动的微分方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=-==+2120202,0m m gh m x k g m x kx x M ， 解得t xt x x n nn ωωωsin cos 00 += =)sin(2)cos(212212t m m kk gh m t m m k k g m +++-2.6求如图T-2.6所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且122k k =，13k k =。

解：等效刚度=132135)11(1k k k k =++，由n ω=mk mk 351=，故系统的周期为15322k m T n πωπ== 2.9求如图T-2.9所示系统微幅扭振的周期。

图中两个摩擦轮可分别绕水平轴1O ，2O 转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径1O A 与2O B 在同一水平线上），弹簧不受力。

摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为1m ,2m 。

解：坐标原点取为静平衡位置，故可不计重力势能，A 盘转动θ角，则B 盘转动θθBAB r r =。

A 盘的惯性矩424A A A r I πρ=, B 盘的惯性矩424BB B r I πρ= (A ρ,B ρ分别为A 盘和B 盘的单位面积的质量。

)因21AA r m πρ= ，22BB r m πρ=，故221A A r m I =， 222BB r m I = 系统的势能为22212221)(21)(21)(21θθθA B B A r k k r k r k U+=+=动能为222122)(412121θθθ A B B A A T r m m I I E +=+=故由0)(=+T E U d ，得0)()2(2121=+++θθk k m m， 21212121)(22,)(2m m k k T m m k k n ++=++=πω2.14一台电机重470N ，转速为1430 r/min,固定在两根5号槽钢组成的简支梁的中点，如图T-2.14所示。

每根槽钢长1.2m, 重65.28N, 弯曲刚度为EI=1.66×510N.m 2。

(a)不考虑槽钢质量，求系统的固有频率(b)设槽钢质量均布，考虑分布质量的影响，求系统的固有频率 (c)计算说明如何避开电机和系统的共振区解：a) 不考虑槽钢质量，每一根槽钢中点的静绕度为:45331051.01066.1482.1)2470(48-⨯≈⨯⨯⨯==∆EI pl从而每一根槽钢的刚度为：)2470(∆=∆=p k ，得)/(35.4388.9470224702s rad mkn ≈⨯∆==ω b) 考虑槽钢质量分布对系统动能的影响，不考虑它对静绕度的影响。

（分布载荷的静变形曲线为)43(4832x x L EIpy-=） 设梁的振动速度分布为33243)()(Lx x L t v t v x -=，v(t)为梁中点的速度，故整段梁的动能为⎰⎰-=2023262220)43()()(212L x L x d x x L Lt v x d t v ρρ =)3517)((212t v L ρ 故每一根槽钢的等效质量为钢等m m '='3517此时)/(5.4118.928.65351728.9470122470351722s rad m m kn≈⨯⨯+⨯∆='⨯+=）（ω钢c)电机的激励频率ω=1430602π⨯=149.926（rad/s ）故激励频率远离系统的共振区。

2.15一质量m 固定于长L ，弯曲刚度为EI ，密度为ρ的弹性梁的一端，如图T-2.15所示，试以有效质量的概念计算其固有频率。

解：梁的自由端的绕度为 EI pl 33=∆，则等效刚度为 33lEI而其静变形曲线为EI x pl EI pl EI x l p y 26)(6233+--= (由 )(22x l p xd yd EI --=及0,000====x x dxdyy 求积分得到)从而可假设端v v y =∆，端v y v ∆=， 即梁系统的动能为20)(21v x d E L ρ⎰=梁x d v y L 2端22021∆=⎰ρ=09911.02121232端2L 022端2⨯⨯∆≈∆⎰L EIpl v x d y v ）（ρρ=端2)892.0(21V L ρ 从而梁的等效质量为L ρ892.0；系统的固有频率可近似为)892.0(33L m l EIρ+ 2.19试证明：对数衰减率也可用下式表示nnx x l n1=δ （式中n x 是经过n 个循环后的振幅）。

并给出在阻尼比ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数。

证明：因10t n Xe x ωξ-=，)1(d nT t n n Xe x +-=ωξ故d T n n ne x xωξ=0，d n n T n x x ωξ=0ln， δn x x n =0ln ，故nx xn 0ln 1=δ ξ为0.01，0.1，0.3时振幅减小到50%以下所需要的循环数分别为12. , 2. ,1。

(这里设ωn d ω≈，从而π2≈d n T ω，由πξ22ln n =近似计算）2.24试指出在简谐激励下系统的复频率响应，放大因子和品质因子之间的关系，并计算当ξ=0.2，n ω=5rad/s 时系统的品质因子和带宽。

解：简谐激励下，系统复频率响应为：）（）（n n i H ωωξωωω/2/-11)(2+=放大因子[]222)/2(/-11|)(|nn H ωξωωω+=）（ω ，品质因子ξωω21=∆n在小阻尼时，当频率比22-1/ξωω=n 时，放大因子达到最大值max |)(|ωH ，而m a x |)(|ωH 为Q ，即ξξξ212-121|)(|Q 2max ≈==ωH ，ξ=0.2，n ω=5rad/s 时，252.022,5.22.021=⨯⨯==∆=⨯=n Q ξωω2.29若振动物体受到的阻力与其运动速度平方成正比，即⎪⎩⎪⎨⎧-=≤=0022＞xxa F x xa F d d 求其等效阻尼系数和共振时的振幅解：粘性阻尼力在一个周期内做的功为dt t c dx xc W c )(sin X 22/202ϕωωωπ-==⎰⎰ =2X c πω(这里设)cos(ϕω-=t X x )，而上述一周内所做的功为：⎰⎰==dt xF dx F W d d d =[]⎰⎰++-=ωϕωπωϕωϕωπωϕϕωω//2///2/)(in X -dt t s F dt xF d d令ωϕ-=*t t ，原式=[]**⎰dt t s F d )in(X -/20ωωωπ=[][]**++**⎰⎰dt t s a dt t s a 3/2/3/0)in(X -)()in(X -)(-ωωωωωπωπωπ=323232X 38X 34X 34ωωωa a a =+由c d W =W ，故有πωX38a C =等效其简谐强迫振动方程为：t i e F x k xa x m ω0)X38(=++πω设)(ϕω-=t i Xe x ，故有 0)(2)X 38(F e x k X i a X m i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--ϕωπωω当在共振时，可设m k n=≈22ωω，则有0)(2≈-X m k ω，0)(2238F ie X a n =-ϕπω 故 X=aF a F nn23218302πωωπ=2.33如图T-2.33所示由悬架支承的车辆沿高低不平的道路行进。