《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

已知杆的质量为m ，A端弹簧的刚度为k 。

并问铰链支座C 放在何处时使系统的固有频率最高？图2-5 图2-62-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。

已知m =50kg ，19800N m k =，234900N m k k ==，419600N m k =。

试问：（1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？｛2.17｝ 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k 1= k 2= k 3= k 4= k ，试问： （1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？图 T 2-17解：kk k k k k k k k k k k k k k k 213224123412312342312311233223=+==+==+=（1）01234x k mg =，kmgx 20=（2）()t x t x n ωcos 0=，kmgx x 420max == 2-7 图2-7所示系统，质量为m 2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。

试求此系统的固有频率。

图2-7解：系统动能为：k 1k 2k 3k 4m222221222222221212321 2121212121x m x m R I m r x r m x m R x I x m T e =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=系统动能为：2222211222112221 21 2121x k x R R k k x R R k x k V e =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=根据：max max V T =，max max x xn ω= 2221222112223m R I m R R k k n +++=ω 2-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

图2-8解：0=⋅+⋅+⋅b b k a a c l l m θθθ 0222=++θθθkb ca ml mkl b ml kb n ==22ω n ml ca ξω222=，kmmlb ca ml ca n 22222==ωξ 42222222422421411a c b kml mlk m b l m a c m k l b n d -=⋅-=-=ξωω 由mk ablc 221=⇒=γξ 2-9 图2-9所示的系统中，m ＝1kg ，k ＝224N/m ，c ＝48N.s/m ，l 1＝l ＝0.49m ，l 2＝l /2，l 3＝l /4，不计钢杆质量。

试求系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。

图2-9｛2.26｝ 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg ，k = 144 N / m ，c = 48 N •s / m ，l 1 = l = 0.49 m ，l 2 = 0.5 l ， l 3 = 0.25 l ，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。

ablb k θa c θl m θ图 T 2-26答案图 T 2-25解：受力如答案图T 2-26。

对O 点取力矩平衡，有：0223311=⋅+⋅+⋅l l k l l c l l m θθθ 0222321=++θθθkl cl ml 041161=++θθθk c m 36412=⋅=⇒mkn ω s rad n / 6=⇒ωnmcζω2161=25.02116=⋅=⇒nm c ωζ第三章 单自由度系统的强迫振动3-1 如图3-1所示弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力0()sin P t P t ω=。

试求质量块的振幅。

图3-1解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，则有，21x x x += （A ） 由图（1）和图（2）的受力分析，得到t P x k x k ωsin 02211+= （B ）mOθ2l k θ⋅1l m θ ⋅3l c θ ⋅l 1m kcl 2l 322x k xm -= （C ） 联立解得，tP k k k x k k k k x m ωsin 02122121+++-=tP m k k k x m k k k k xωsin )()(02122121+=++所以)(2121k k m k k p n =，n = 0，得， 2102222222)(11)2()1(1)2()(nn p k P kH n p hB ωςλλωω-=+-=+-=图3-23-2 图3-2所示系统中，刚性杆AB 的质量忽略不计，B 端作用有激振力0()sin P t P t ω=，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m 作上下振动的振幅值：（1）系统发生共振；（2）ω等于固有频率n ω的一半。

解：图（1）为系统的静平衡位置，以θ为系统的广义坐标，画受力如图（2）t lP l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20+⋅⋅-⋅⋅⋅-=又 I ＝ml 2t P ml m k m c ωθθθsin 340=9++∴则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ml p h m c n m k p n 023,429mgθBP 0sin ωtAX AY AF CF K22222222)2()()2()(ωωωωθθn p hllB B n p hB n n +-==+-=1）系统共振，即ω=n pkm cp m km c l ml p np hl B n 494)/3(200=⨯⨯==∴2）n P 21=ω3-3 建立图3-3所示系统的运动微分方程，并求出系统的固有频率n ω，阻尼比ζ以及稳态响应振幅。

图3-3解：以刚杆转角ϕ为广义坐标，由系统的动量矩定理ϕϕϕ 22)(4cl l x l k m l s ---=即t l ka m k m c ωϕϕϕsin 44=++mkc kp m k m c m k l ml p np p hl B n n 81641194944273)(4320222222+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴令，m k p n 4=，m c n 42=，n n mp c p n 8==ς，ml ka h 4=，n p ωλ=得到 2222)2()(ωωϕn p hB n +-=22222222)2()1(2)2()1(242ςλλωωϕ+-=+-⨯==a p p n p pl mlka l B B n n nn3-4 一机器质量为450kg ，支撑在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm ，机器有一偏心重，产生偏心激振力20 2.254P g ω=，其中ω是激振频率，g 是重力加速度。

试求：（1）在机器转速为1200r/min 时传入地基的力；（2）机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x ，则0mx kx F +=即0F kx x m m +=又有st mg k δ= 则st mgk δ=（1）所以机器的振幅为2021F B k λλ=-（2）且n p ωλ=，40rad s ωπ=（3）又有2n st k gp m δ==（4）将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B =0.584 mm则传入地基的力为514.7T p kB N ==2-9一个粘性阻尼系统在激振力t F t F ωsin )(0=作用下的强迫振动力为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6πsin )(t B t x ω，已知6.190=F N ，B =5 cm ，π20=ωrad/s ，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功1W 及2W 。

0110101100140201400:()sin 19.6sin 20()cos()cos(20)66W =P(t)x(t)19.6sin 20cos(20)64.9(1cos80)15.39()()19.6sin 20c P t P wt tx t Bw wt t dtt t dtt dtJW P t x t dtt πππππππππππππ===+=+=⋅+=---=-===⋅⎰⎰⎰⎰⎰由已知可得同理可得:os(20)60.0395t dtJππ+=3-5 证明：粘滞阻尼利在一个振动周期内消耗的能量可表示为202222(1)(2)P E k πςλλςλ∆=-+ 证明()()()222222002222222cos()/21412TE c B t dt c B BF k F E c kωωϕπωπζλπωλξλλζλ∆=--=-=∆=-=-+-+⎰3-6 单自由度无阻尼系统受图3-6所示的外力作用，已知(0)(0)0x x ==。