《函数的极大值与极小值》同步检测
一、基础过关
1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个．
2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；
④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的极大值为________．
4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.
5．若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.
6．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________．
7．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－3，－1
2内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－1
2，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值；
⑤当x ＝－1
2时，函数y ＝f (x )有极大值．
则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升
8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．
9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 10．求下列函数的极值：
(1)f (x )＝x 3－12x ；
(2)f (x )＝x 3－2
2(x －1)2
.
11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－5
2，求m 的值．
12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a .
(1)求f (x )的极值；
(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展
13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R .
(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2
3
时，求函数f (x )的单调区间与极值．
答案
1．1 2．④ 3．5 4．1 －3 5．3 6．9 7．③ 8．9 9．1<a <4
10．解 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.
当x x (－∞，－2)
－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值， 且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数f (x )有极小值， 且f (2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝(x －2)2(x ＋1)
2(x －1)3，
令f ′(x )＝0， 得x 1＝－1，x 2＝2.
x (－∞，－1)
－1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f (x )
↗
－38
↘
↗
3
↗
故当x ＝－1时，函数有极大值，
并且极大值为f (－1)＝－3
8
.
11．解 ∵f ′(x )＝3x 2＋mx －2m 2＝(x ＋m )(3x －2m )，
令f ′(x )＝0，则x ＝－m 或x ＝2
3
m .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－m )
－m ⎝
⎛⎭⎫－m ，23m
2
3m ⎝⎛⎭
⎫23m ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f (x )极大值＝f (－m )＝－m 3＋12m 3＋2m 3－4＝－5
2，
∴m ＝1.
12．解 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－1
3
或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－13) －1
3 (－1
3，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋
－ 0 ＋ f (x )
↗
极大值 ↘
极小值
↗
所以f (x )的极大值是f (－13)＝5
27＋a ，
极小值是f (1)＝a －1.
(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1， 由此可知，x 取足够大的正数时，
有f (x )>0，x 取足够小的负数时，有f (x )<0， 所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．
由(1)知f (x )极大值＝f (－13)＝5
27＋a ，
f (x )极小值＝f (1)＝a －1.
∵曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，
∴f (x )极大值<0或f (x )极小值>0， 即5
27
＋a <0或a －1>0， ∴a <－5
27
或a >1，
∴当a ∈(－∞，－5
27)∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．
13．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2e x ，f ′(x )＝(x 2＋2x )e x ， 故f ′(1)＝3e.
(2)f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x －2a 2＋4a ]e x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2a 或x ＝a －2，
由a ≠2
3知，－2a ≠a －2.
以下分两种情况讨论：
①若a >2
3
，则－2a <a －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，－2a )
－2a (－2a ，a －2)
a －2 (a －2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x )在(－∞，－2a )，(a －2，＋∞)内是增函数，在(－2a ，a －2)内是减函数． 函数f (x )在x ＝－2a 处取得极大值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .
函数f (x )在x ＝a －2处取得极小值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.
②若a <2
3，则－2a >a －2.当x 变化时，f ′(x )，
f (x )的变化情况如下表：
x (－∞，a －2)
a －2 (a －2，－2a )
－2a (－2a ，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f (x )在(－∞，a －2)，(－2a ，＋∞)内是增函数， 在(a －2，－2a )内是减函数．
函数f (x )在x ＝a －2处取得极大值f (a －2)， 且f (a －2)＝(4－3a )e a －2.
函数f (x )在x ＝－2a 处取得极小值f (－2a )， 且f (－2a )＝3a e －2a .。