B
) B.y=x2
A.y=-x3 A.y=-
C.y=x2-x
D.y=1/x
分析: 做这题需要按求极值的三个步骤, 分析 : 做这题需要按求极值的三个步骤 , 一个一个求出来吗? 不需要, 一个一个求出来吗 ? 不需要 , 因为它只要判断 x=0是否是极值点,只要看x=0点两侧的导数是否 是否是极值点, 异号就可以了. 异号就可以了.
减 极小植f(x 极小植 2) 增
f (x)
(三),导数的应用 ),导数的应用
2-x-2的极值. )=x 的极值. 例1:求f(x)=x
解:
1 f ′( x) = 2 x 1, 令f ′( x) = 0, 解得x = .列表 2
xf ′(x ) Fra bibliotek (x )(∞,
1 ) 2
1 2
1 ( ,+∞) 2
a 解: y ' = ( a ln x + bx + x) ' = + 2bx + 1 x
2
因为在x=1和x=2处,导数为 和 导数为0 因为在 处 导数为
2 a + 2b + 1 = 0 a = 3 ∴ a 1 + 4b + 1 = 0 2 b = 6
解 : y′ = e ( cos x sin x ) , 令y′ = 0,
(二),极值与导数的关系 ),极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X X1左侧 X1 X1右侧
f ′(x )
f ′( x ) > 0 f ′( x ) = 0 f ′( x ) < 0
增 极大植f(x1) 极大植 减
f (x )
X
极小值与导数之间的关系
X2左侧 X2 X2右侧
f ′(x )
f ′( x ) < 0 f ′( x ) = 0 f ′( x ) > 0
注
意
在定义中, 1 , 在定义中 , 取得极值的点称为极值 极值点是 自变量(x) 的值, 极值指 (x)的值 点 , 极值点 是 自变量 (x) 的值 , 极值 指 函数值(y) 的是函数值(y). 的是函数值(y).
2,极值是一个局部概念,极值只是某个点 极值是一个局部概念, 局部概念 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 的函数值与它附近点的函数值比较是最大 附近点 或最小, 不意味着它在函数的整个的定义 或最小,并不意味着它在函数的整个的定义 域内最大或最小. 域内最大或最小.
三,课堂练习
1,下列说法正确的是( 下列说法正确的是( 极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 x+1 |p|< C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|< 6 , 对于f(x)=x 则f(x)无极值 f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值 f(x)在区间(a
函数的极大值与极小值
一,构建数学
二,新课讲授
(一),函数极值的定义 ),函数极值的定义
一般地,设函数y=f(x)在 及其附近有定义, 一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, y=f(x) 如果f(x 的值比x 附近所有各点的函数值都大, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我 们就说f(x 是函数的一个极大值 记作y 极大值, 们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0), x0是极大值点. 是极大值点. 如果f(x 的值比x 附近所有各点的函数值都小, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小, 我们就说f(x 是函数的一个极小值.记作y 我们就说f(x0)是函数的一个极小值.记作y极小值 极小值 是极小值点. =f(x0),x0是极小值点. 极大值与极小值统称为极值. 极大值与极小值统称为极值. 极值
1 解: f '( x ) = (a sin x + sin 3 x ) ' = a cos x + cos 3 x 3
∵ f '( ) = 0 , 3 π π 1 ∴ a cos + cos(3 × ) = 0 a 1 = 0
3 3 2
π
∴a=2 ∴a=2.
处有极值, 3,y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值, 求a,b的值. 的值.
0
1 极小值f ( ) 2
+
1 1 9 因此, 因此 ,当 x = 时 , f ( x ) 有极小值 f ( ) = . 有极小值f 2 2 4
小结:求函数f(x)的极值的步骤: 小结:求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 (1)求导数f (1)求导数f′(x); 求导数 (x为极值点 (2)求方程f (x)=0的根 (x为极值点.) 的根; (2)求方程f′(x)=0的根; 为极值点.) 求方程 用函数的导数为0的点, (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间, 数的定义区间分成若干小开区间 , 并 列成表格. 检查f (x)在方程根左右的 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值. 值的符号,求出极大值和极小值.
1 3 例2:求 y = x 4 x + 4 的极值 1 3 3 2
3 y′=0,解得x 令y′=0,解得x1=-2,x2=2
解: y ' = ( x 4 x + 4) ' = x 4 = ( x + 2)( x 2)
当x变化时,y′,y的变化情况如下表 变化时,
x
(-∞,-2)
-2 0
28 极大值 3
�
C
)
A.函数在闭区间上的极大值一定比
1 2,函数 f ( x) = a sin x + sin 3 x 在 π 处具有极值,3 a的值 x = 处具有极值,求
3
分析:f(x)在 分析:f(x)在 x = 必要条件可知, 必要条件可知, f
π
3
'(
处有极值, 处有极值,根据一点是极值点的
π
3
可求出a的值. ) = 0可求出a的值.
(-2,2)
2 0
4 极小值 3
(2,+∞)
f ′(x )
f (x )
↗ 28 x=- 有极大值且y ∴当x=-2时,y有极大值且y极大值= 3 4
当x=2时,y有极小值且y极小值= x=2 有极小值且y
+ ↗
-
+
↘
3
例3:下列函数中,x=0是极值点的函数 3:下列函数中,x=0是极值点的函数 下列函数中 是(
x
4,求 y = e cos x的极值. 的极值.
x
即cos x sin x = 0得,x = kπ +
π
π 5π 当x ∈ 2kπ + ,2kπ + ( k ∈ Z )时,y′ < 0, f ( x ) 为减函数, 4 4 3π π 当x ∈ 2kπ ,2kπ + ( k ∈ Z )时,y′ > 0, f ( x ) 为增函数, 4 4 π 2 kπ + π 2 4, 因此当x= 2kπ + ( k ∈ Z )时, y极大值 = e 4 2
3,函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 极值不是唯一 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 4,极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示, 极大值未必大于极小值, 个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值点,x4是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 ) 是极大值点, 是极小值点,
4
(k ∈ Z ),
3π 2 当x= 2kπ ( k ∈ Z )时, y极小值 = 4 2
3π 2 kπ 4 . e
四,课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤: 求函数f(x)的极值的步骤: f(x)的极值的步骤 (1)求导数f (1)求导数f′(x); 求导数 (x为极值点 (2)求方程f (x)=0的根 (x为极值点.) 的根; (2)求方程f′(x)=0的根; 为极值点.) 求方程 用函数的导数为0的点, (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间, 并 数的定义区间分成若干小开区间 , 列成表格. 检查f (x)在方程根左右的 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值. 值的符号,求出极大值和极小值.