图22－6 第22讲┃ 矩形菱形正方形（一）
第22讲┃ 矩形菱形正方形（一）
考点3 正方形
正方形 的定义
正方形 的性质
有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四 边形叫做正方形
(1)正方形对边平行 (2)正方形四边相等 (3)正方形四个角都是直角 (4)正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对 角线平分一组对角 (5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形， 对称轴有四条，对称中心是对角线的交点
4．如图22－2所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交 于点O，∠1＝∠2.
(1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BOC＝120°，AB＝4 cm，求四边形ABCD的面积．
图22－2
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解：(1)证明：∵∠1＝∠2，∴BO＝CO，即2BO＝2CO. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝OD， ∴AC＝2CO，BD＝2BO，∴AC＝BD. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形； (2)在△BOC中，∵∠BOC＝120°， ∴∠1＝∠2＝(180°－120°)÷2＝30°. 在Rt△ABC中，AC＝2AB＝2×4＝8(cm)， ∴BC＝ 82－42＝4 3 (cm)． ∴四边形ABCD的面积＝4 3×4＝16 3 (cm2)．
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判定 面积
(1)定义法 (2)四条边__相_等_____的四边形是菱形 (3)对角线互相__垂_直_____的平行四边形是菱形 菱形的面积等于两对角线乘积的__一__半____
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5.在菱形ABCD中，AB＝5 cm，则此菱形的周长为( C )
边上的中线长为( C )
A．8 cm
B．10 cm
C．5 cm D．6 cm
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3．如图22－1，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿 CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为 (A －1 C. 3
D．6
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第22讲 矩形、菱形、正 方形（一）
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃
考点1 矩形
定义 对称性 性 质 定理
推论
判定
有一个角是___直__角___的平行四边形叫做矩形 矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点
(1)矩形的四个角都是_直__角_____ (2)矩形的对角线互相平分并且__相__等____ 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的__一__半____
5BE＝12×8×6，解得BE＝254.
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9．已知：如图22－5，平行四边形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.
求证：四边形AFCE是菱形．
图22－5
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证明：方法一：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠FCA. 又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌△COF.∴EO＝FO. 又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线． ∴AF＝AE，CF＝CE. 又∵EA＝EC，∴AF＝AE＝CE＝CF. ∴四边形AFCE为菱形； 方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF. ∴AE＝CF.∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵EF是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴四边形AFCE是菱形； 方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形． 又EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
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正方形 的判定
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
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10.如图22－6，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD 上，且AE＝EF＝FA.下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE＝CF； ③∠AEB＝75°；④BE＋DF＝EF；⑤S△ABE＋S△ADF＝S△CEF.其中 正确的是_①__②__③_⑤__(只填写序号)．
A．5 cm
B．15 cm C．20 cm D．25 cm
6．已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是( C )
A．16 3 B．16 C．8 3
D．8
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7．如图22－3，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需 要添加的条件是( C )
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考点2 菱形
定义
对 称 性性 质 定 理
有一组__邻__边____相等的平行四边形是菱形 菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直
线是它的对称轴 菱形是中心对称图形，它的对称中心是两
条对角线的交点 (1)菱形的四条边_相__等_____ (2)菱形的两条对角线互相_垂__直_____平分， 并且每条对角线平分_一_组__对__角______
(1)定义法 (2)有__三______个角是直角的四边形是矩形 (3)对角线__相__等____的平行四边形是矩形
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1．矩形具备而平行四边形不具有的性质是( D )
A．对角线互相平分
B．邻角互补
C．对角相等
D．对角线相等
2．若直角三角形的两直角边长分别为8 cm和6 cm，则斜
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠A＝∠C. ∵BE⊥AD、BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°.
在△ABE和△CBF中，∠ ABA＝＝C∠B， C， ∠AEB＝∠CFB＝90°，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴BE＝BF. (2)如图， ∵对角线AC＝8，BD＝6， ∴对角线的一半分别为4、3， ∴菱形的边长为 42＋32＝5，菱形的面积＝
A．AB＝CD C．AB＝BC
图22－3 B．AD＝BC D．AC＝BD
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8．如图22－4，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD， 垂足分别为E、F.
(1)求证：BE＝BF； (2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．
图22－4
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