第四章 振动与波动1.若简谐振动方程)25.020cos(1.0ππ+=t x m ，求：1）振幅、频率、角频率、周期、初相.2）t=2s 时的位移、速度、加速度. 解：radHz TsT s rad m A πϕυωππω25.01011.02201.0)11=====⋅==-s t 2)2=2222222/1079.2/2204cos 1.0)20()cos(/44.4/24sin 1.020)sin(1007.7202221.04cos 1.0)25.0220cos(1.0s m s m t A a sm sm t A v mm x ⨯-=-=⨯÷-=+-=-=-=⨯⨯-=+-=⨯==⨯==+⨯=-πππϕωωπππϕωωπππ 2.2.一质量忽略不计的弹簧下端悬挂质量为4kg 的物体，静止时弹簧伸长20cm ，再把物体由静止的平衡位置向下拉10cm ，然后由静止释放并开始计时.证明此振动为简谐振动并求物体的振动方程.证明：设向下为x 轴正向物体位于o 点时：mg=k l 0 物体位于x 处时: F=mg-k(l 0+x)=-kx则运动方程为0222=+x dtx d ω是简谐振动。

17mgk rad sl-=∴ω====⋅∆t=0时，x0=0.10m,则A=0.10m,所以1cos0===ϕϕAx方程为)(7cos10.0mtx=3.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=0.50s。

当t=0时，1）物体在平衡位置向负方向运动；2）物体在x=－1.0×10-2m处向正方向运动.求：以上各情况的运动方程.解：1）设振动方程为)cos(ϕω+=tAx式中srad/45.022πππω===)()4cos(100.22mtxϕπ+⨯=∴-求ϕ：0=t时，0,0<=vx2cosπϕϕ±==∴2sin,0sinπϕϕϕω=∴><-=Av则)()24cos(100.22mtxππ+⨯=-2）0,100.1,02>⨯-==-vmxt32,0sin,03221cosπϕϕπϕϕ-=∴<>±=-==∴vAx)()324cos(100.22mtxππ-⨯=∴-4.已知某质点作简谐振动的振动曲线如图所示.求：该质点的振动方程. 解：设振动方程为)cos(4ϕω+=t x求ϕ：0,22,000>-==v x t4322cos 0πϕϕ±=-==∴A x 430sin ,00πϕϕ-=∴<>v 则方程可写为 )43-4cos(x πωt = 求ω：0,0,5.0>==v x s t24320)432cos(ππωπω±=-=-∴0)432sin(0)432sin(<-∴>--=πωπωωA v则 s rad /2,2432πωππω=-=-所以方程为 34()24cos x t ππ=-(m)5.某振动质点的x-t 曲线如图所示.求：该质点的运动方程.解：设振动方程为)cos(01.ϕω+=t x求ϕ：0,5.0,000>==v x t3,21cos πϕϕ±==∴ 3,0sin 00πϕϕ-=<∴>v则 )3cos(01.πω-=t x求ω：0,0,4<==v x s t234,0)34cos(ππωπω±=-=-∴234,0)34sin(0sin ππωπωω=->-∴<-=v A vs rad /245πω=∴方程为 501243.cos()x t ππ=-(m)6.质量为0.1kg 的物体，以振幅1.0×10-2m 作简谐运动.其最大加速度为4.0m ·s -2.求：1）振动的周期；2）物体通过平衡位置时的总能量；3）物 体在何处其动能和势能相等；4）当物体的位移大小为振幅的一半时，动 能、势能各占总能量的多少？ 解：1）s a A T A a A a mm m ππωπωω1.022,2====∴= 2）J A ma A A a m A m E m m 3222102212121-⨯==⋅⋅==ω 3）2222121,21kx kA E E E kx E P k P -=-=∴=当P k E E =时，有222212121kx kx kA =- m A x A x 3221007.722,2-⨯±=±==∴4）E A k kx E P 41)2(212122===E E E E P K 43=-=7.已知波动方程m t x y )2005.0(cos 1022-⨯=-π，求：A 、λ、υ、u 。

解：波动方程的标准形式为 )](2cos[λπxT t A y -= 将已知方程)()2005.0(cos 1022m t x y -⨯=-π化为标准形式，则有)()]4100(2cos[1022m xt y -⨯=-πsm u m HzTs T m A /400,41001,01.0,1022======⨯=∴-λυλυ 8.一平面简谐波在媒质中以速度u=0.20m/s 沿x 轴正向传播.已知波线上A 点x A =0.05m 的振动方程为m t y A )24cos(03.0ππ-=.求：1）波动方程；（2）x=－0.05m 处质点P 的振动方程解：1) A 点的振动方程为m t y A )24cos(03.0ππ-=则波动方程为mx t x t u x x t y A ]2)5(4cos[03.0]2)2.005.0(4cos[03.0]2)(4cos[03.0ππππππ+-=---=---=2）代入x=-0.05m,则得P 点的振动方程为mt t y P )234cos(03.0}2)]05.0(5[4cos{03.0ππππ+=+-⨯-=9.如图所示为某平面简谐波在t=0时刻的波形曲线.求：（1）波长、周期、 频率；（2）a 、b 两点的运动方向；3）该波的波动方程. 解：1)s uT m 2,4.0===λλsrad HzT/25.01ππυωυ====2) ↑↓b a , 3)波动方程为])(cos[ϕω+-=u xt A y m x t xt y ])5(cos[04.0])2.0(cos[04.0ϕπϕπ+-=+-=∴ 确定ϕ：由图可知 0,0,000<==v y t2,0cos πϕϕ±==∴20sin 00πϕϕ=>∴<v则方程为 004[(5))]2.cos y t x m π=π-+10.已知平面简谐波传播的波线上相距3.5cm 的A 、B 两点，B 点的相位落 后A 点π/4，波速为15cm/s.求此波的频率和波长. 解：x ∆=∆λπϕ2Hzu m x 54.028.015.028.0105.34222====⨯⋅=∆⋅∆=∴-λυππϕπλ11.两相干波源P 、Q 发出的平面简谐波沿PQ 连线的方向传播，已知PQ=3.0m, 两波频率均为100Hz ，且振幅相等，P 点的相位超前Q 点π/2.PQ 连线的延 长线上Q 点的一侧有一点S ，S 到Q 的距离为r,若波速为400m/s ，求：1） 两波源在S 点的振动方程；2）PQ 延长线上Q 点一侧各点的干涉情况.解：1）设振幅为A , 已知 2πϕϕ=-Q P令 0=Q ϕ，则 2πϕ=Ps rad /2002ππυω==则两波源的振动方程为mt A t A y P P )2200cos()cos(0ππϕω+=+=m t A t A y Q Q )200cos()cos(0πϕω=+=两波源在S 点的振动方程分别为(200cos[])(cos[)3(200cos[])(cos[r t A ux t A y r t A u x t A y Q QS Q P PS P =+-=+=+-=πϕωππϕω2）两波在Q 点外侧任意点S 的相位差为QS PS φφϕ-=∆则由1）的结果可得ππππϕ-=--++-=∆)]400(200[]2)4003(200[rt r t 0=∴合A在Q 点外侧任意点的合振幅为零，则表明Q 点外侧所有点因干涉而静止不动。