fn 表示单位时间内重复振动的次数.
无阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系
u(t) a sin(nt )
求导
u(t
)
n
a
cos(nt
)
n
a
sin(nt
2
)
求导
u(t) n2a sin(nt ) n2a sin(nt )
速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？
得到通解
u(t) ent (a1 cosdt a2 sindt)
应用初始条件
u(0) u0 u(0) u0
d n 1 2 (阻尼振动频率)
u(t)
ent
u0
cosdt
u0
nu0 d
sin
dt
欠阻尼系统的 自由振动响应
或： u(t) aent sin(dt )
有阻尼单自由度系统的自由振动
0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05
aent
u1
u2
t1
t2
= 10rad/s, = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
u3 t3
u4 t4
u5 t5
u, m
-0.10
-0.15 -0.20
aent
Td
0
1
2
3
4
t, s
相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。
1. 弹性元件 弹性元件的意义和性质
x F
F f (x)
o
x
当 x 较小
F f (x) 时
线性范围
F kx
弹簧的刚度系数，单位： N/m
振动系统的组成
弹簧的刚度系数的物理意义：使弹簧产生单位位移所需施加的力 对弹性元件需要说明几点：
通常假定弹簧是无质量的；
假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
第一章：单自由度系统的振动
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
1. 固有频率概念的引出
mu(t) ku(t) 0 u(t) uest
激励受系统控制，受振动系统的运动控制
简谐激励下无阻尼系统的受迫振动
理解共振现象的数学本质
k
f0 sin t
m
受迫振动方程： mu(t) ku(t) f0 sin t
u(t )
2 n
u(t
)
f0 m
sin t
非齐次通解 = 齐次通解 ＋ 非齐次特解
齐次方程通解： u (t) a1 cosnt a2 sin nt
系统的固有频率
Tmax Vmax
③ 等效质量和等效刚度法：
系统的固有频率
T
V
④ 静变形法：
等效质量 meq 等效刚度 keq
n
keq meq
equivalent 的前两个字母
第一章：单自由度系统的振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
有阻尼单自由度系统的自由振动
阻尼：阻碍物体运动，消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。 阻尼的机理十分复杂，只靠物理学上的、力学上的定 理是不能得到实际系统的阻尼的。因此，阻尼往往通 过实验来确定。
自由振动：
u(t) a sin(nt )
振幅 频率
初相位
简谐运动的三要素
2
振幅： a
u02
u0
n
初相位：
arctan
nu0
u0
• 简谐运动三要素
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 n为振动
频率的简谐振动，并且永无休止； • 初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能，
k
m x
引言
m x
ke
m x x
y
振动系统的组成
基础
机床
简化 混凝土
m
k
c
弹性衬垫
图 将实际系统抽象为单自由度振动系统
振动系统的组成
弹性元件
k
振动系统 惯性元件
m
阻尼元件
c
m
k
c
弹性元件是提供振动的回复力，惯性元件是承载 运动的实体，阻尼在振动过程中消耗系统的能量 和吸收外界的能量。
振动系统的组成
k
m
(ms2 k)u 0 ms2 k 0
图 无阻尼单自由度系统
s1,2 i
k m
in
特征方程
n
k m
natrual 的第一个字母 固有频率
单位：rad/s
n
k m
对固有频率的正确理解：
① 固有频率仅取决于系统的刚度和质量；
固有频率
② 固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系
u =0.02m, du(0)/dt =-1.0 m/s 0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t, s
图 质量块对初始条件的临界阻尼响应
结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(3)欠阻尼情况 (0 1)
s1,2 n in 1 2
0 1
s1,2 n n 2 1
u(t) (a1 a2t)ent
有阻尼单自由度系统的自由振动
u, m
0.02 0.01 0.00 -0.01 -0.02
m=10 kg, k=1000 N/m, c=200 Ns/m
u =0.02m, du(0)/dt =0.0 m/s 0
u =0.02m, du(0)/dt =-0.5 m/s 0
3. 欠阻尼振动特性：
u(t) aent sin(dt )
① 振幅按指数规律 ae衰n减t ；
u, m
0.20
aent
0.15
0.10 u1
u2
0.05
0.00
-0.05 t1
t2
= 10rad/s, = 4% n
u = 0.0m, du(0)/dt =2.0 m/s 0
u3 t3
u4 t4
简谐激励下无阻尼系统的受迫振动
受迫振动: 系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动。
受迫振动方程： mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
激励受外界控制，与振动系统本身无关 自激振动: 系统在自身控制的激励的作用下所发生的振动。 自激振动方程（颤振）：
mu(t) cu(t) ku(t) f (u(t),u(t),u(t))
x(t)
Fd Fd c x
c
阻尼系数：使阻尼器产生单位速度所需施加的力，单位： N s/m
单自由度系统的振动方程
c
k
m
s k
c
o
u
m
u
f (t)
mu(t) k[u(t) s ] cu(t) mg f (t)
k (u s ) cu
m
mg
f (t)
mg k s
mu(t) cu(t) k u(t) f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
振动系统的组成
弹簧的等效刚度系数
u2
k1
u1
fA
Bf k2
u2 ke fA
u1 Bf
f1 k1(u1 u2 ) f2 k2 (u1 u2 )
f f1 f2 (k1 k2 )(u1 u2 ) f ke (u1 u2 )
ke k1 k2
振动系统的组成
u3
u2
u1
f
A
k2
B
0
=1.05 =1.3 =1.5
u, m
0.000
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
t, s
图 质量块对初始位移的过阻尼响应
结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
有阻尼单自由度系统的自由振动
(2) 临界阻尼情况 ( 1)
s1,2 n n 2 1
1
s1,2 n
特征方程有一对相等实根，故通解：
解:
n
k m
u0 0 u0 v0
v0
k
（振幅）
a
u02
( u0
n
)2
v0
m k
(钢丝绳最大动张力)
m
v0
k
v0
Td ka v0 mk
（钢丝绳总张力的最大值）
T mg v0 mk
k0
m
v0
无阻尼单自由度系统的自由振动
4 求单自由度无阻尼系统固有频率的几种方法 ① 微分方程法：
运动微分方程 ② 能量方法：
无阻尼单自由度系统的自由振动
2 初始扰动引起的自由振动
运动方程： mu(t) ku(t) 0
特征根：
s1,2 in
通解： u(t) a1 cosnt a2 sin nt
u(0) u0,u(0) u0
a1 u0 ,
a2
u0
n
自由振动：
u(t)
u0
cos nt
u0
n
sin
nt
无阻尼单自由度系统的自由振动
无阻尼单自由度系统的自由振动
u1
u2
一个拍
u
A
B
t t Ct
拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.
无阻尼单自由度系统的自由振动
例：升降机笼的质量为 m，由钢丝绳牵挂以等速度 向v0下运动。 钢丝绳的刚度 系数为 ，质k量可忽略不计。如果升降机运行中急刹车，钢丝绳上端突然停止