【知识点 4】已知单调性求参数取值范围
1. 思路提示：⑴对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区
间上恒为非负或非正的问题，进而转化为导数在该区间上的最值问题.
⑵对于可导函数在某个区间不单调的问题，转化为导函数在此区间无实根，可结
合导函数的图像给出此问题的充要条件，从而求解.
⑶对于只有一个极值点的导函数研究其相关问题（如在给定区间上恒为正或负以
及根的分布等），往往可以类比二次函数在区间上的最值或根的分布求解.
例 1：已知函数f (x) = 3ax4- 2(3a + 1)x2- 2(3a + 1)x2+ 4x
1
（I）当a = 时，求f (x) 的极值;
6
（II）若f (x) 在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围
例 2：已知函数f (x) =x3+ax2+x +1(a ∈R)
（I）讨论函数f (x) 的单调区间；
3 1
（II）设函数f (x) 在区间(- , - ) 内是减函数，求a 的取值范围.
2 3
例 3：已知函数f (x) = (2ax -x2 )e ax，其中a 为常数，且a ≥ 0 .
（I）若a =1 ，求函数f (x) 的极值点；
（II）若f (x) 在区间( 2, 2) 内单调递增，求a 的取值范围.
例 4：已知函数f (x) =ax3+bx2 (x ∈R) 的图像过点P(-1, 2) ，且在点P 处的切线恰好与直线x - 3y = 0 垂直.
(Ⅰ)求函数f (x) 的解析式；
（II）若函数f (x) 在区间[m, m +1]上单调递增，求实数m 的取值范围.
2
例 5：已知函数 f (x ) = x 3 + (1- a )x 2 - a (a + 2)x + b (a , b ∈ R ) .
(Ⅰ)若函数 f (x ) 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3 ，求 a , b 的值；
（II ）若函数 f (x ) 在区间(-1,1) 上不单调，求 a 的取值范围.
例 6：设 f (x ) = e x 1+ ax
，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a = 4 时，求 f (x ) 的极值点；
3
（Ⅱ）若 f (x ) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例 7：设 f (x ) = e x
，其中a 为正实数. 2
(Ⅰ)当 a = 3 时，求 f (x ) 的极值点；
4
(Ⅱ)若 f (x ) 为 R 上的单调函数，求a 的取值范围.
例 8：设 f (x ) = - 1 x 3 + 1
x 2 + 2ax 3 2
(I) 若 f (x ) 在( , +∞) 上存在单调递增区间，求 a 的取值范围． 3
（II ）当0 < a < 2 时， f (x ) 在[1, 4] 的最小值为- 16 3
，求 f (x ) 在该区间上的最大值．
例 9：已知 a ，b 是实数，函数 f (x ) = x 3 + ax , g (x ) = x 2 + bx , f '(x ) 和 g '(x ) 是 f (x ), g (x )
的导函数，若 f '(x )g '(x ) ≥ 0 在区间 I 上恒成立，则称 f (x ) 和 g (x ) 在区间 I 上单调性一致
(I)设 a > 0 ，若函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间[-1,+∞) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围；
（II ）设 a < 0, 且 a ≠ b ，若函数 f (x ) 和 g (x ) 在以 a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求
a -
b 的最大值.
例 10： 已知函数 y = 3x - 2
f ( x ) = 1 x 3 - x 2 + ax + b 的图像在点 P （0, f (0)）处 的切线方程为 3
(Ⅰ)求实数 a , b 的值；
m
(Ⅱ)设 g （x ）= f ( x ) + x -1 是[21, +∞] 上的增函数。

（i ）求实数 m 的最大值；
(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q ，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y = g ( x ) 围成两个
封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由.
例 11：设函数 f ( x ) = 6x 3 + 3(a + 2) x 2 + 2ax ．
(I) 若 f ( x ) 的两个极值点为 x 1 ， x 2 ，且 x 1x 2 = 1 ，求实数 a 的值；
（II ）是否存在实数 a ，使得 f ( x ) 是(-∞, +∞) 上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不
存在，说明理由．
例 12：设定函数 f (x ) = a
x 3 + bx 2 + cx + d (a 0) ，且方程 f ' (x ) - 9x = 0 的两个根分别为3
1, 4 .
（Ⅰ）当 a=3 且曲线 y = f (x ) 过原点时，求 f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若 f (x ) 在(-∞, +∞) 无极值点，求 a 的取值范围。

a g ( x ) =
例 13：已知函数 f (x ) = + x + (a -1) ln x +15a , 其中 a<0,且 a≠-1.
x
（Ⅰ）讨论函数 f (x ) 的单调性； ⎧⎪(-2x 3 + 3ax 3 + 6ax - 4a 2 - 6a )e x , （Ⅱ）设函数 ⎨ x ≤ 1
（ e 是自然数的底数）。

⎩⎪ e ⋅ f ( x ), x > 1 是否存在 a ，使 g (x ) 在[a , -a ]上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明
理由。

例 14：已知函数 f (x ) = 3ax 4 - 2(3a +1)x 2 + 4x
1
（I ） 当 a = 时，求 f (x ) 的极值;
6 （II ）
若 f (x ) 在(-1,1) 上是增函数，求 a 的取值范围.
例 15： 已知函数 f ( x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足 f (0)＝1，f (1)＝0.
(I) 求 a 的取值范围；
(II) 设 g ( x )＝f ( x )－f '( x ) ，求 g ( x ) 在[0,1]上的最大值和最小值．
例 16：已知函数 f (x ) = x - ax 2 - ln x (a > 0)
(I) 若曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线斜率为-2 ，求 a 的值以及切线方程；
(II) 若 f (x ) 是单调函数，求 a 的取值范围.
例 17：已知函数f (x) =a ln x - 2ax + 3(a ≠ 0).
(I)设a =-1 ，求函数f (x) 的极值；
(II)在(I)的条件下，若函数g(x) =1
x3+x2f '(x) +m](其中f '(x) 为f (x) 的导3
数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m 的取值范围．。