第五章 第五节 数列的综合应用(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．(2011·济南模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1D. 2解析：依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，所以q ＝1或－1.答案：C2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 4＝36，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是( )A ．(－12，－2)B ．(－1，－1)C ．(－12，－1)D ．(2，12)解析：设数列{a n}的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝104a 1＋4×32d ＝36，解得d ＝4，于是直线PQ 的斜率k ＝a n ＋2－a n n ＋2－n ＝d ＝4，故直线的一个方向向量的坐标可以是(－12，－2)．答案：A3．(2011·福州模拟)等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．156B ．52C ．26D ．13解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6(a 4＋a 10)＝24，a 4＋a 10＝4， ∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26.答案：C4．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.答案：D5．已知数列{a n }的通项为a n ＝nn 2＋58，则数列{a n }的最大项为( )A ．第7项B ．第8项C ．第7项或第8项D ．不存在解析：由于a n ＝nn 2＋58＝1n ＋58n，而函数f (x )＝x ＋58x 在(0，58)上递减，在(58，＋∞)上递增，且f (7)＝7＋587，f (8)＝8＋588，所以f (8)<f (7)．故a 8>a 7，从而数列{a n }的最大项为第8项．答案：B6．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1000天D ．1200天解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n 的值．设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋5＋n ＋4910n2n ＝3.2×104n＋n20＋9920，当且仅当3.2×104n ＝n 20时取得最小值，此时n ＝800. 答案：B二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．解析：由题知a 25＝a 1·a 17，即a 25＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )，∴8a 5d －48d 2＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ，∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d6d －4d＝3.答案： 38．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列c n 是“和等比数列”，则d ＝________.解析：由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋c n2，前2n 项和为S 2n ＝2n c 1＋c 2n 2，所以S 2nS n ＝2nc 1＋c 2n2n c 1＋c n 2＝2＋2nd4＋nd －d＝2＋21＋4－d nd，所以当d ＝4时，S 2nS n 为非零常数．答案：49．正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝________.解析：由题意知，前n 组共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，所以第n －1组的最后一个数为(n －1)2，第n 组的第一个数为(n －1)2＋1，第n 组共有2n －1个数，所以根据等差数列的前n 项和公式可得A n ＝[n －12＋1]＋[n －12＋2n －1]2(2n －1)＝[(n －1)2＋n ](2n －1)，而B n ＝n 3－(n－1)3，所以A n ＋B n ＝2n 3.答案：2n 3三、解答题10．某市投资甲、乙两个工厂，2008年两工厂的年产量均为100万吨．在今后的若干年内，甲工厂的年产量每年比上一年增加10万吨，乙工厂第n 年比上一年增加2n －1万吨，记2008年为第一年，甲、乙两工厂第n 年的年产量分别记为a n ，b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的2倍，则将另一工厂兼并，问到哪一年底其中一个工厂被另一工厂兼并．解：(1)由题意可知数列{a n }是等差数列，a 1＝100，公差d ＝10，所以a n ＝10n ＋90，因为b n －b n －1＝2n －1，b n －1－b n －2＝2n －2，…，b 2－b 1＝2，所以b n ＝100＋2＋22＋…＋2n －1＝2n＋98(n ≥2)，b 1也满足上式，所以b n ＝2n＋98.(2)当n ≤5时， a n ≥b n 且a n <2b n ，当n ≥6时，a n <b n ，所以甲工厂有可能被乙工厂兼并，2a n <b n ，即2(10n ＋90)<2n＋98，得n ≥8，故2015年底甲工厂将被乙工厂兼并． 11．设数列{a n }满足条件：a 1＝8，a 2＝0，a 3＝－7，且数列{a n ＋1－a n }(n ∈N *)是等差数列． (1)设c n ＝a n ＋1－a n ，求数列{c n }的通项公式； (2)求S n ＝|c 1|＋|c 2|＋…＋|c n |的值；(3)数列{a n }的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)因为数列{a n ＋1－a n }是等差数列，首项c 1＝a 2－a 1＝－8，公差d ＝(－7－0)－(0－8)＝1，所以c n ＝－8＋(n －1)·1＝n －9， 即c n ＝n －9，n ∈N *. (2)令n －9>0，得n >9，所以，当n ≤9，n ∈N *时，S n ＝(－c 1)＋(－c 2)＋…＋(－c n )＝8＋9－n 2n ＝17n －n 22；当n >9，n ∈N *时，S n ＝S 9＋c 10＋…＋c n ＝36＋1＋n －92(n －9)＝n 2－17n ＋1442.(3)由(1)得：a n －a n －1＝n －10(n ∈N *，n >1)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(n －10)＋(n －11)＋…＋(－8)＋8＝－8＋n －102(n －1)＋8＝12(n 2－19n )＋17＝12(n －192)2－2258.所以当n ＝9或n ＝10时，a n 的值最小，即第9项和第10项为数列{a n }的最小项，最小项的值为－28.12．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax .(1)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；(2)设a n ＝1＋1n(n ∈N *)，求证：3(a 1＋a 2＋…＋a n )－a 21－a 22－…－a 2n <ln(n ＋1)＋2n .解：(1)函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (x >0)， 则f ′(x )＝1x＋2x －a (x >0)．因为函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即1x＋2x －a ≥0在(0，＋∞)上恒成立．所以1x＋2x ≥a .因为当x >0时，1x＋2x ≥2 2.当且仅当1x ＝2x ，即x ＝22时等号成立．所以a ≤2 2.故实数a 的取值范围是(－∞，22]． (2)证明：令a ＝3，则f (x )＝ln x ＋x 2－3x . f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x＝2x －1x －1x.当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(1，＋∞)上是增函数． 所以f (1＋1n)>f (1)＝－2.所以ln(1＋1n )＋(1＋1n )2－3(1＋1n)>－2.所以3(1＋1n )－(1＋1n )2<2＋ln(1＋1n)．即3a n －a 2n <2＋ln(1＋1n)．所以3a 1－a 21<2＋ln(1＋1)，3a 2－a 22<2＋ln(1＋12)，3a 3－a 23<2＋ln(1＋13)，……3a n －a 2n <2＋ln(1＋1n)，将以上各式左右两边分别相加，得3(a 1＋a 2＋…＋a n )－a 21－a 22－…－a 2n <(2＋ln 21)＋(2＋ln 32)＋…＋(2＋ln n ＋1n )＝2n ＋ln(n ＋1)． 故所证不等式成立．。