人教版 初三数学竞赛专题:平面几何的定值问题(含答案)【例1】 如图,已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证:PA PC PB为定值.【例2】 如图,AB 为⊙O 的一固定直径,它把⊙O 分成上、下两个半圆,自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ,∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ,当点C 在上半圆(不包括A ,B 两点)上移动时,点P ( ) A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】 如图,定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动,M 是ST 的中点,P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证:不管ST 滑到什么位置,∠SPM 是一定角.【例4】 如图,扇形OAB 的半径OA =3,圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ,B 的动点,过点C 作CD ⊥OA 于点D ,作CE ⊥OB 于点E .连接DE ,点G ,H 在线段DE 上,且DG =GH =HE .(1)求证:四边形OGCH 是平行四边形;(2)当点C 在AB ⌒上运动时,在CD ,CG ,DG 中,是否存在长度不变的线段?若存在,请求出该线段的长度;(3)求证:CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】 如图1,在平面直角坐标系xOy 中,点M 在x 轴的正半轴上,⊙M 交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于C ,D 两点,且C 为弧AE 的中点,AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为(-2,0),AE =8. (1)求点C 的坐标;(2)连接MG ,BC ,求证:MG ∥BC ;(3)如图2,过点D 作⊙M 的切线,交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时,PFOF的比值是否发生变化?若不变,求出比值;若变化,说明变化规律.(图1)(图2)【例6】 如图,已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ,P 是⊙O 上的任意一点.求证:P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图,点A ,B 是双曲线xy 3=上的两点,分别经过A ,B 两点向x 轴,y 轴作垂线段.若S 阴影=1,则=+21S S _______.BOACE HG D A3题图)(第4题图)2.从等边三角形内一点向三边作垂线段,已知这三条垂线段的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是__________.3.如图,OA ,OB是⊙O 任意两条半径,过B 作BE ⊥OA 于E ,又作OP ⊥AB 于P ,则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图,在菱形ABCD 中,∠ABC =120°,F 是DC 的中点,AF 的延长线交BC 的延长线于点E ,则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图,在⊙O 中,P 是直径AB 上一动点,在AB 同侧作A A '⊥AB ,AB B B ⊥',且A A '=AP ,B B '=BP .连接B A '',当点P 从点A 移动到点B 时,B A ''的中点的位置( ) A .在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动(第5题图) (第6题图) 6.如图,A ,B 是函数xky =图象上的两点,点C ,D ,E ,F 分别在坐标轴上,且分别与点A ,B ,O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6,则长方形OEBF 的面积是( ) A.3 B.6 C.9 D.127.(1)经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ,B 和C ,D 四点,得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下,P A ,PB ,PC ,PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子,然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'(2)已知⊙O 的半径为一定值r ,若点P 是不在⊙O 上的一个定点,请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ,F . PE ·PF 的值是否为定值?为什么?由此你发现了什么结论?请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC 的两顶点A ,C 分别在y 轴,x 轴的正半轴上,点O 在原点,现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转,当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中,AB 边交直线x y =于点M ,BC 边交x 轴于点N .(1)求OA 在旋转过程中所扫过的面积;(2)旋转过程中,当MN 与AC 平行时,求正方形OABC 旋转度数;(3)设△MBN 的周长为P ,在正方形OABC 旋转的过程中,P 值是否有变化?请证明你的结论.9.如图,AB 是半圆的直径,AC ⊥AB ,AC =AB .在半圆上任取一点D ,作DE ⊥CD ,交直线AB 于点E ,⑥⑤④③②①P(B )A PBBF ⊥AB ,交线段AD 的延长线于点F .(1)设弧AD 是x °的弧,若要点E 在线段BA 的延长线上,则x 的取值范围是_______.(2)不论点D 取在半圆的什么位置,图中除AB =AC 外,还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段,并予证明.(第9题图) (第10题图)(第11题图)10.如图,内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ,设⊙O 的半径为R .求证: (1)2222DK CK BK AK +++是定值; (2)2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图,设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点,求证:DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2,H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时,面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变,则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ,B ,C ,D ,E 是反比例函数xy 16=(x >0)图象上五个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成如图所示的五个橄榄形(阴影部分),则这五个橄榄形的面积总和是__________(用含π的代数式表示).P D CB A A折叠,使点A ,B 落在六边形ABCDEF 的内部,记∠C +∠D + )A. ∠1+∠2=900°-2α B. ∠1+∠2=1080°-2α C. ∠1+∠2=720°-α D. ∠1+∠2=360°-21α(第3题图) (第4题图)4.如图,正△ABO 的高等于⊙O 的半径,⊙O 在AB 上滚动,切点为T ,⊙O 交AO ,BO 于M ,N ,则弧MTN ( )A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图,AB 是⊙O 的直径,且AB =10,弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时,始终与AB 相交,记点A ,B 到MN 的距离分别为h 1,h 2,则∣h 1-h 2∣等于( )A.5B.6C.7D.8(第5题图) 6.如图,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB =90°,AC =BC ,点A ,C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )(m >0),线段AB 与y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的抛物线过点B ,D . (1)求点A 的坐标(用m 表示)12G F E D C HB A B(2)求抛物线的解析式;(3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连接PQ 并延长交BC 于点E ,连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明:FC (AC +EC )为定值.7.如图,已知等边△ABC 内接于圆,在劣弧AB 上取异于A ,B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ,直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.(第7题图) (第8题图)8.如图,设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大,还是不变?证明你的结论.9.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ,与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连接AC .现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动.线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于E ,射线QE 交x 轴于点F .设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒). (1)求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当290<<t 时,△PQF 的面积是否总是定值?若是,求出此值;若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形,请写出解答过程. N K MB AC H CB A(第9题图) (第10题图) 10.已知抛物线C 1:12121+-=x x y ,点F (1,1). (1)求抛物线C 1的顶点坐标;(2)若抛物线C 1与y 轴的交点为A ,连接AF ,并延长交抛物线C 1于点B ,求证:211=+BFAF . (3)抛物线C 1上任意一点P (x P ,y P )(0<x P <1),连接PF ,并延长交抛物线C 1于点 Q (x Q ,y Q ),试判断211=+QFPF 是否成立?请说明理由.11.已知A ,B 是平面上的两个顶点,C 是位于AB 一侧的一个动点,分别以AC ,BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证:不论C 在直线AB 同一侧的任何位置,EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ,使CE =AP ,连结BE ,则△BCE ≌△BAP ,及△PBE 为等腰直角三角形,故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示:连结AC ,BC ,可以证明P 为APB 的中点. 例3 ∵SP ⊥OP ,OM ⊥ST ,∴S ,M ,O ,P 四点共圆,于是∠SPM =∠SOM =12∠SOT 为定角. 例4 (1)连结OC 交DE 于M ,则OM =CM , EM =DM ,而DG = HE ,则HM =GM 故四边形OGCH 是平行四边形. (2)DG 不变.DE =OC =OA =3 .DG =13DE =13×3=1. (3)设CD =x ,延长OG 交CD 于N ,则CN =DN =12 x ,229CE x =- , 2214DN x = .∴22394ON x =-,而ON =32CH ,∴22143CH x =-.故CD 2+3CH 2=x 2+3(4-13x 2)=x 2+12-x 2为定值. 例5 ⑴C (0,4) ⑵先求得AM =CM =5,连接MC 交AE 于N ,由△AO G ∽△ANM ,得OG AO MN AN =,O G =32,38OG OM OC OB ==,又∠BOC =∠G OM ,∴△G OM ∽△COB ,∠G MO =∠CBO ,得M G ∥BC .⑶连结DM ,则DM ⊥PD ,DO ⊥PM ,DO 2=OM •OP ,OP =163.动点F 在⊙M 的圆周上运动时,从特殊位置探求OFPF的值.当F 与点A 重合时,2316523OF AO PF AP ===-;当点F 与点B 重合时,8316583OF OB PF PB ===+;当点F 不与点A ,B 重合时,连接OF 、PF 、MF ,∴DM 2=MO •MP ,∴FM 2=MO •MP ,即FM MPOM FM=,又∠OMP =∠FMP ,∴△MFO ∽△MPF ,35OF MO PF MF ==,故OF PF 的比值不变,比值为35. 例6 ∠BPC =120°,在△BPC 中,由余弦定理得BC 2=PB 2+PC 2-2PB •PC =BC 2,又由上托勒密定理得BC •P A +PC •AB ,而AB =BC =AC ,∴P A =PB +PC ,从而P A 2+ PB 2+ PC 2= (PB +PC )2+ PB 2+ PC 2=2 (PB 2+PC 2+PB •PC )=2BC 2=2×()23=6.故P A 2+PB 2+PC 2为定值.A 级 1.4提示:∵S 1+S阴= S 2+S 阴=xy =3,∴S 1+S 2=2xy -2S 阴=6-2=4. 2.273 提示:1+3+5=9是等边三角形的高.3.r 2提示:先考查OB 与OA 垂直的情形.4.D 提示:延长BF 交DE 于点M ,连接BD ,则△BCD为等边三角形,BF 平分∠CBD .∵F 为CD 中点,且AD ∥CE ,∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称.∴CE =AD =CD ,∴∠CEM=30°,∠DMF=60°,5.D 提示:A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处. 6.B 提示:S 正方形OCAD =OD •OC =A A x y k ==6,∴S OEBF =OE •OF =x B •y B k ==6. 7.⑴略⑵当点P 在⊙O 内时,过P 作直径CD ,则PE •PF =PD •PC=r 2-OP 2为定值;当点P 在⊙O 外时,PE •PF 为定值22OP r -.结论:过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交,则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值. 8.⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化.理由如下:如图,延长BA 交y 轴于E 点,可证明△OAE ≌△OCN ,得OE =ON ,AE =CN ,又∠MOE =∠MON =45°,OM =ON ,∴△OME ≌△OMN ,得MN =ME =AM +AE =AM +CN .∴P =MN +BN +BM =AM +CM +CN +BN +BM =AB +AC =4.9.⑴0<x <90 ⑵BE =BF 提示:连接BD ,可证明△BDF ∽△ADB ,△BDE ∽△ADC . 10.⑴作OP ⊥BD 于P ,OQ ⊥AC 于Q ,连接AO ,则AO 2=()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,又AK •CK =BK •DK ,得AK 2+BK 2+CK 2+DK 2=4R 2为定值. ⑵作直径DE ,连接AE ,BE ,CE ,AB 2+CD 2=4R 2,AD 2+BC 2=4R 2,故AB 2+BC 2+CD 2+DA 2=8K 2为定值. 11.设正方形的边长为a ,根据托勒密定理,对于四边形APBC 和四边形APBD ,有CP •a =AP •a +BP •2a ,DP •a =BP •a +AP •2a ,两式相加并整理得(CP +DP )a =(AP +BP )(a +2a ),从而21AP BPCP DP+=-+为定值.B 级1.1 提示:不妨设∠A 为锐角,AD ,BE ,CF 为△ABC 的三条高,H 为垂心,由AB =AC 知∠HBD =∠HCD =∠HAE ,∠HDC =∠CDA =90°,故R t △CHD ∽R t △ACD .∴AD DC DC HD =,即AD •HD =DC 2=14BC 2=1.∴S △ABC •S △HBC =2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1.当∠A ≥90°时,结论成立.2.13π-26 提示:∵A ,B ,C ,DE 是反比例函数y =16x(x >0)图象上五个整数点,由图象可知,这些点的横坐标分别为1,2,4,8,16.∴五个正方形的边长分别为1,3,4,2,1.∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=5π-10+8π-16=13π-26. 3.B 提示:如图,设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ,G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′.由对称性可知∠1=2∠APP ′,∠2=2∠BPP ′.∴∠1+∠2=2∠APB .∵∠APB =540°-α,∴∠1+∠2=1080°-2α. 4.D 5.B 提示:如图,设AB 与MN 交于点C ,过点O 作OD ⊥MN 于D ,连接FO 并延长交EB 于G .由垂径定理,得OD =2254-=3.由△AFO ≌△B G O ,得AF =B G ,即h 1=B G .由AF ⊥MN ,BE ⊥MN ,得△FOD ∽△F G E .∴12OD FO GE FG ==.∴E G =2OD =6,∴12h h AF BE -=-=E G =6. 6.⑴A (3-m ,0) ⑵y =x 2-2x +1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ,过点Q 作QN ⊥BC 于N ,设Q 点的坐标为(x ,x 2-2x +1),则QM =CN =(x -1)2,MC =QN =3-x .∵QM ∥CE ,∴PQM∽△PEC .∴QM PMEC PC=,即()2112x x EC --=,得EC =2(x -1).∵QN ∥CF ,∴△BQN ∽△BFC .∴QN BNFC BC =,即()24134x x FC ---=,得FC =41x +.又AC =4,∴FC (AC +EC )=()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+=8为定值. 7.提示:易证△ABK ∽△BNA ,故AK •BN =AB 2为定值,即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关. 8.提示:S △ABC •S △HBC=116BC 4,由于BC 是不变的,所以当点A 至BC 的距离变小时,乘积S △ABC •S △HBC 保持不变. 9.⑴A (18,0),B (0,-10),顶点坐标为(4,-989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形,由于QC ∥P A ,故只要QC =P A 即可,而P A =18-4t ,CQ =t ,故18-4t =t ,得t =185. ⑶设点P 运动t s ,则OP =4t ,CQ =t ,0<t <4.5.说明P 在线段OA 上,且不与点O ,A 重合.由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ,故144QD QC t DP OP t ===.同理QC ∥AF ,故14QC CE AF EA ==,即14t AF =,∴AF =4t =OP .∴PF =P A +AF =P A +OP =18.又点Q 到直线PF 的距离d =10,∴S △PQF =12•PF •d =12×18×10=90.于是S △PQF 的面积总为定值90. ⑷由前面知道,P (4t ,0),F (18+4t ,0),Q (8-t ,-10),0≤t ≤4.5.构造直角三角形后易得PQ 2=(4t -8+t )2+102=,FQ 2=(18+4t -8+t )2+102=(5t +10)2+100.①若FP =FQ ,即182=(5t +10)2+100,故25(t +2)2=224,(t +2)2=24425.∵2≤t +2≤6.5,∴t +2=244414255=.∴t = 4145-2. ②若QP =QF ,即(5t -8)2+100=(5t +10)2+100,即(5t -8)2=(5t +10)2,无0≤t ≤4.5的t 满足. ③若PQ =PF ,即(5t -8)2+100=182,∴(5t -8)2=224.由于224≈15,又0≤5t ≤22.5,∴-8≤5t -8≤14.5,14.52=22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭<224.故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程.综上所述,当t =4145-2时,△PQ R 为等腰三角形. 10.⑴C 1的顶点坐标为(1,12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ,作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ,∴PM =1-y P ,FM =1-x P .在R t △PMF 中,PF 2=(1-y P )2+(1-x P )2=1-2y P +y P 2+1-2x P +x P 2,又∵点P 在抛物线上,∴y P =12x P 2-x P +1,∴PF 2=1-x P 2+2x P -2+y P 2+1-2x P +x P 2=y P 2,∴PF =y P ,同理,QF =y Q ,易证△PMF ∽△QNF ,则PM QN PF QF =,∴11Q P y y PF QF --=,即11PF QF PF QF --=,∴11PF QF+=2. 11.先从特殊情况出发.当△ABC 是等腰直角三角形时,点P 与点C 重合,此时点P 的位置在AB 的中垂线上,且到AB 的距离为12AB ,如图①所示.下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示).过C ,E ,G 分别作直线AB 的垂线CH ,EM ,G N ,垂足分别是H ,M ,N .容易证明△AEM ≌△ACH ,△B G N ≌△BCH .从而有AM =CH =BN ,EM =AH ,G N =BH .这样,线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点,连接OP ,则OP 是梯形EMN G 的中位线,从而OP ⊥AB ,OP =12(EM +G N )= 12(AH +BH )=12AB .∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何,E G 中点P 的位置不变.。