第四章 三角形 4.1 认识三角形（1）学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力； 2、能证明出“三角形内角和等于180°”，能发现“直角三角形的两个锐角互余”； 3、按角将三角形分成三类。
学习重难点：三角形内角和定理推理和应用。
学习设计：（一） 预习准备（1）预习书62－65页（2）思考①三角形的角之间的关系①三角形的分类 （3）预习作业三角形中角的关系：（1）三角形的三个内角之和是 ；（2）直角三角形的两个锐角 三角形的分类：按角分为三类： 三角形； 三角形和 三角形。
（二） 学习过程例1 证明三角形的内角和为180°例2 在①ABC 中，（1）082,42,C A B ∠=∠=∠则= （2）5,A B C C ∠+∠=∠∠那么=（3）在①ABC 中，C ∠的外角是120°，B ∠的度数是A ∠度数的一半，求①ABC 的三个内角的度数变式训练：在①ABC 中（1）0078,25,B A C ∠=∠=∠则= (2)若C ∠=55°，010B A ∠-∠=,那么A ∠= ,B ∠=例3 已知①ABC 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=,试判断此三角形是什么形状？变式训练：已知①ABC 中，090,2,A B B C ∠-∠=∠=∠试判断此三角形是什么形状？例4 如图，在①ABC 中，090ACB ∠=,CD ①AB 于点D ，1,2?A B ∠∠∠∠与有何关系与呢例5 如图，已知060,30,20,A B C BOC ∠=∠=∠=∠求的度数。
21DC BAOCBA变式训练：如图在锐角三角形ABC 中，BE 、CD 分别垂直AC 、AB ，若040A ∠=，求BHC ∠的度数。
拓展：1、如图所示，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数。
2、如图在①ABC 中，已知1,2,,A B ABC ACB ACB ∠=∠∠=∠∠=∠∠求的度数。
回顾小结：1、三角形的三个内角的和等于180°； 2、三角形按角分为三类：（1）锐角三角形 （2）直角三角形 （3）钝角三角形 3、直角三角形的两个锐角互余HE DCBAHED CB A 21D C BA4.1认识三角形（2）一、学习目标：1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发掌空间观念、推理能力和有条理地表达能力；2、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
二、学习重点：三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
三、学习难点： 灵活运用三角形三边关系解决一些实际问题。
四、学习设计 （一）预习准备（1）预习书66－67页（2）思考①什么叫三角形？①三角形的基本构造①三角形的三边关系 （3）预习作业：如图，已知AD ①BC 于点D ，DE ①AB 于点E ，点F 是AE 的中点，则图中有 个三角形， 个直角三角形， 个锐角三角形， 个钝角三角形；以B 为内角的三角形有 个，它们分别是 ；以BE 为一边的三角形是 。
（二）学习过程1、三角形的有关概念（1）三角形的定义：由不在 上的三条线段首尾 相连所组成的图形。
（2）三角形的基本构造：①组成三角形的三条线段叫做三角形的 ①两条边相接的点叫做三角形的 ①相邻两边组成的角叫做三角形的 2、三角形的三边关系： （1）三角形任意两边之和 第三边 （2）三角形任意两边之差 第三边例1 图中共有几个三角形？并把它们用符号表示出来。
例2 下面各组数分别表示三条线段的长度，试判断以它们为边是否能组成三角形。
（1）1 ；4 ；5 （2）3 ；3 ；5（3）3x ；5x ；7x （x 为正数） （4）三条线段长度之比为4：7：6 变式训练：有下列长度的三条线段能否构成三角形？为什么？ （1）3 ；4 ；8 （2）5 ；6 ；11 （3）5 ；7 ；10 （4）4 ；4 ；9 （5）5 ；5 ；5例3 小明要制作一个三角形铁丝架，已知有两根铁丝长度分别是3cm ，5cm （1） 他该如何选择第三根铁丝？你能帮助小明确定它的长度或范围吗？ （2） 如果要求第三根铁丝的长度是整数，那么小明有几种选择？G FE D CBA变式训练：1、已知两条线段的长为5cm 和8cm ，要订成一个三角形，试求： （1） 第三条线段的长度范围；（2） 若第三条线段的长度为奇数，求此时三角形的周长。
2、已知等腰三角形中，有两边长为3和7，求此等腰三角形的底边和腰长例4 如图所示，在小河的同侧有A ,B ,C 三个村庄，图中的线段表示道路，某邮递员从A 村送信到B 村，总是走经过C 村的道路，不走经过D 村的道路，这是为什么呢？ 请利用你所学的数学知识加以证明。
拓展：1、若设,,a b c 是①ABC 的三边，则a b c a b c +++--=2、已知,,a b c 是①ABC 的三边，2,5a b ==，且三角形的周长是偶数，（1）求c 的值；（2）判断①ABC 的形状。
回顾小结：掌握三角形三边关系：“三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边”。
4.1认识三角形（3）学习目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；2、了解三角形的角平分线、中线、高线，并能在具体的三角形中作出高线。
学习重点：1、角平分线的概念2、三角形的中线、高线。
学习难点：高线的画法以及三个定义做计算 学习设计：（一） 预习准备（1） 预习书68－72（2） 思考：什么是三角形的角平分线？中线？高线？ （3） 预习作业画出下图三角形的三条高（二） 学习过程1、在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做2、在三角形中， 的线段，叫做这个三角形的中线。
3、从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 之间的线段叫做三角形的高。
例1 （1）如图1，D 为S ①ABC 的变BC 边的中点，若S ①ADC =15, 那么S ①ABC = (2)如图2，已知AD 、BE 分别是①ABC 中BC 、AC 边上的高，若0070,120,2C ∠=∠=∠=那么图1 图2变式训练：如图在①ABC 中，BD 平分0,66,24,ABC C ABD A ∠∠=∠=∠那么=D CBA21EDCBA DCB A例2 如图，已知在①ABC 中，ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ，试说明： （1）01180()2BOC ABC ACB ∠=-∠+∠ (2)01902BOC A ∠=+∠变式训练：如图在①ABC 中，已知I 是①ABC 三个内角平分线的交点，0130BIC BAC ∠=∠,则为（ ）A 、40°B 、50°C 、65°D 、80°例3 如图，已知在①ABC 中，CF 、BE 分别是AB 、AC 边上的中线，若AE =2，AF =3，且①ABC 的周长为15，求BC 的长。
变式训练：如图，在①ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12和15两部分，求①ABC 各边的长。
拓展：1、（1）如图，若AD 为①ABC 底边BC 的中线，则ABDS= =12; OCBAICBAOF E CB A DC BA(2)两个等底（同底）三角形面积之比等于它们的 之比；两个等高（同高）三角形面积之比等于它们的 之比；（3）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，DF =FC ,CE =2EB 。
已知,SDFAECF Sm S n ==四边形（其中n >m ）,则ABCD S 四边形=2、如图1在①ABC 中，AD ①BC 于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠ (1)试探究,EAD C B ∠∠∠与的关系；（2）若F 是AE 上一动点①若F 移动到AE 之间的位置时，FD ①BD ，如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与与的关系如何？①当F 继续移动到AE 延长线上时，如图3所示FD ①BC ，①中的结论是否还成立，如果成立说明理由，如果不成立，写出新的结论。
回顾小结：(1)三角形的角平分线、中线、高线的定义;(2) 三角形的角平分线、中线、高线是线段.FEDC BA图1E D CBAF 图2E D CB A F 图3E DC B A4.2 图形的全等一、学习目标：1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形.2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.3.掌握全等多边形性质与识别方法，全等三角形的性质.4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题.二、学习重点:全等多边形的性质与识别方法；全等三角形的性质应用.三、学习难点:平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响.四、学习设计:(一)引入观察教材P73 图3－21几组图形。
(二)学习过程阅读课本P73－75填空：_________________两个图形就是全等图形。
全等图形的________和______都相同。
下面，我们看看图形的运动对全等图形有何影响?活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形，先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠)；再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠)；然后将原图形沿形外某格线对称；最后将这些图形剪下来，将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程，说明了什么问题?说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动，位置发生了变化，但形状和大小却没有改变，图形运动前后的两个图形是全等的；反过来，也就是说，两个全等的图形经过图形运动一定能重合.请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征?全等多边形对应边、对应角分别相等.如图1，四边形ABCD与四边形EFGH全等，可记为四边形ABCD①四边形EFGH，请指出对应顶点、对应角、对应边.全等多边形的识别方法：如果两个多边形对应边、对应角分别相等，那么这两个多边形全等.三角形是特殊的多边形，所以，全等三角形的对应边、对应角分别相等；如果两个三角形的___________、__________分别相等，那么这两个多边形全等.例1 如图2，已知将①ABC绕其顶点A顺时针方向旋转20°后得到①ADE.(1)①ABC与①ADE的关系如何?(2)求①BAD的度数.分析：将①ABC绕其顶点A旋转得到①ADE，故①ADE是由①ABC旋转得到的，若将①ADE 逆时针方向旋转20°，则能与①ABC重合，所以①ABC与①ADE是全等的.由学生自主思考、分析解答.探索：请同学们将两张纸叠起来，剪下两个全等三角形，然后将叠合的两个三角形纸片放在桌面上，从平移、旋转、对称几个方面进行摆放，看看两个三角形有一些怎样的特殊位置关系?并画出这些位置关系的代表性图形.4.3 探索三角形全等的条件（1）一、学习目标：1．经历探索三角形全等的“边边边”的条件的过程．2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、①归纳获得数学结论的过程． 二、学习重点： 三角形全等的条件． 三、学习难点：寻求三角形全等的条件 四、学习设计： (一)、预习准备（1）回忆前面研究过的全等三角形． （2）预习课本P 157－158 (二)、学习过程已知①ABC ①①A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．图中相等的边是：AB =A ′B 、BC =B ′C ′、AC =A ′C ． 相等的角是：①A =①A ′、①B =①B ′、①C =①C ′．（1）提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？ （提示：可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．（２）小明家衣橱上两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明快速配一块回来，如果只有一把尺子，小明该怎么办？讨论下面几种情况： 1．给一个条件： 只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出两个条件可能是：①一边一内角；①两内角；①两边．C 'B 'A 'C BA可以发现按这些条件画出的三角形都_______________保证一定全等． 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条___、两边一内角、两_____一边． 在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1．作图方法：先画一线段AB ，使得AB =6cm ，再分别以A 、B 为圆心，8cm 、10cm 为半径画弧，①两弧交点记作C ，连结线段AC 、BC ，就可以得到三角形ABC ，使得它们的边长分别为AB =6cm ，AC =8cm ，BC =10cm ．2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合．①这说明这些三角形都是全等的．这反映了一个规律：_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，①而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的__________．[例1]如图，1、如图，①ABC 中 AB =AC ， D 为BC 中点求证：①①ABD ①①ACD ． ①①BAD =①CAD①AD ①BC证明：①3cm3cm3cm30︒30︒30︒②50︒50︒30︒30︒③6cm4cm4cm6cm变式训练：如图，已知AC =FE 、BC =DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD =FB ．要用“边边边”证明①ABC ①①FDE ，除了已知中的AC =FE ，BC =DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？例2、如图，已知AB =CD ，AC =BD ，求证：①A =①D拓展延伸1、如图，AC 与BD 交于点O ，AD =CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE =CF ，DE =BF .请推导下列结论：①①D =①B ；①AE ①CF ．FDCBEA2、已知如图，A 、E 、F 、C 四点共线，BF =DE ，AB =CD . ①请你添加一个条件，使①DEC ①①BF A ； ①在①的基础上，求证：DE ①BF .3、 已知：AB =AC , D 为①ABC 内部一点， 且BD = CD , 连接AD 并延长，交BC 于点E . 试找出图中的一对全等的三角形，并证明你的结论。