全等的相关模型总结⼀一、⻆角平分线模型应⽤用1.⻆角平分性质模型：辅助线：过点G作GE射线AC（1）.例例题应⽤用：①如图1，在，那么点D到直线AB的距离是cm.②如图2，已知，，..图1图2①2（提示：作DE AB交AB于点E）②，，，，.(2).模型巩固：练习⼀一：如图3，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分..求证：图3练习⼆二：已知如图4，四边形ABCD中，图4练习三：如图5，交CD于点E，交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE沿AB向右平移到的位置，使点落在BC边上，其他条件不不变，如图6所示，是猜想：于CF⼜又怎样的数量量关系？请证明你的结论.图5图6练习四：如图7，，P是AB的中点，PD平分∠ADC．求证：CP 平分∠DCB ．AD ECBP 2143图7练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，⾃自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂⾜足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外⻆角平分线AD 于点D ，F 为垂⾜足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。

求证：BE －AC=AE 。

图9练习七：如图10，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点，CE=BF ，且△DCE 的⾯面积与△DBF 的⾯面积相等，求证：AD 平分∠BAC 。

2.⻆角平分线+垂线，等腰三⻆角形⽐比呈现辅助线：延⻓长ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF∥射线OB （1）.例例题应⽤用：①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：证明：延⻓长BE交AC于点F。

②．已知：如图2，在，分析：此题很多同学可能想到延⻓长线段CM，但很快发现与要证明的结论毫⽆无关系。

⽽而此题突破⼝口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平⾏行行线来构造等腰三⻆角形.证明：过点C作CE∥AB交AM的延⻓长线于点E.例例题变形:如图，，，求证：①②(3).模型巩固：练习⼀一、如图3，ΔABC是等腰直⻆角三⻆角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延⻓长线于点E。

求证：BD=2CE。

图3练习⼀一变形：如图4，在△ODC 中，，过点E作图4练习⼆二、如图5，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC图5练习三、如图6，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上⼀一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。

图6ACDEBABC D E练习四、①、如图7（a），∥.图7（a）图7（b）图7（c）②、如图7（b），③、如图7（c），其他条件不不变.则在图7（b）、图6（c）两种情况下，DE与BC还平⾏行行吗？它与三边⼜又有怎样的数量量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利利⽤用三⻆角形中位线的知识证明线平⾏行行)练习五、如图8，在直⻆角三⻆角形中，，的平分线交于．⾃自作交于，交于．⾃自作于，求证：．图8练习六、如图9所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延⻓长线于，求证．图9练习六变形⼀一：如图10所示，是中的外⻆角平分线，于，是的中点，求证且．图10练习六变形⼆二：如图11所示，在中，平分，，于，求证．图11练习七、如图12，在中，，的平分线交与．则有．那么如图13，已知在中，，，．求证：．图12图13练习⼋八、在中，，的平分线交于，过作，为垂⾜足，求证：．练习九、是的⻆角平分线，交的延⻓长线于，交于．求证：．3.⻆角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从⽽而使≌△OBC.（1）.例例题应⽤用：①、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。

思路路分析：1）题意分析：本题考查全等三⻆角形常⻅见辅助线的知识：作平⾏行行线。

2）解题思路路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。

形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为⼏几条相等线段的和即可得证。

可过O作BC的平⾏行行线。

得△ADO≌△AQO。

得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了了。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从⽽而得以解决。

⼩小结：通过⼀一题的多种辅助线添加⽅方法，体会添加辅助线的⽬目的在于构造全等三⻆角形。

⽽而不不同的添加⽅方法实际是从不不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三⻆角形在转移线段中的作⽤用。

从变换的观点可以看到，不不论是作平⾏行行线还是倍⻓长中线，实质都是对三⻆角形作了了⼀一个以中点为旋转中⼼心的旋转变换构造了了全等三⻆角形。

②、如图所示，在中，是的外⻆角平分线，是上异于点的任意⼀一点，试⽐比较与的⼤大⼩小，并说明理理由．【解析】，理理由如下．【解析】在上截取，连结，根据证得≌，∴，⼜又中，，，∴（2）、模型巩固：练习⼀一、.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CD ＝AB ＋BD ，∠B 的平分线交AC 于点E ，求证：点E 恰好在BC 的垂直平分线上。

练习⼆二、如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC 练习三、如图，已知△ABC 中，BC ＝AC ，∠C ＝90°，∠A 的平分线交BC 于D ，求证：AC ＋CD ＝AB练习四、已知：在△中，的平分线和外⻆角的平分线相交于交于求证：EADBCACDABD练习五、在△中，平分，是中点，连结，求证：变式：已知：在△中，平分，求证：练习六、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,BC=DC,CF 平分∠BCD,DF ∥AB,BF 的延⻓长线交DC 于点E.求证：（1）BF=DF ；(2)AD=DE.练习七、已知如图，在四边形ABCD 中，AB+BC=CD+DA ，∠ABC 的外⻆角平分线与∠CDA 的外⻆角平分线交于点P .求证：∠APB=∠CPDA B CDFE练习⼋八、如图，在平⾏行行四边形ABCD（两组对边分别平⾏行行的四边形）中，E，F分别是AD，AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。

练习九、如图，在△ABC中，∠ACB为直⻆角，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE.练习⼗十、如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥【补充】如图，在中，交于点，点是中点，交的延⻓长线于点，交于点，若，求证：为的⻆角平分线．4.中考巡礼：（1）.如图1，OP 是∠AOB 的平分线，请你利利⽤用图形画⼀一对以OP 为所在直线为对称轴的全等三⻆角形，请你参考这个全等三⻆角形的⽅方法，解答下列列问题。

①、如图2，在△ABC 中，∠ACB 是直⻆角，∠B=60，AD 、CE 是∠BAC 、∠BCA 的⻆角平分线，相交于点F ，请你判断并写出EF 与DF 之间的数量量的关系。

②、如图3，在△ABC 中，∠ACB 不不是直⻆角，⽽而（1）中的其他条件不不变，请问，（1）中的结论是否任然成⽴立?若成⽴立，请证明；若不不成⽴立，请说明理理由。

（2）.如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，B （-1，0），C （1，0）D 为y 轴上的⼀一点，点A 为第⼆二象限内⼀一动点，且∠BAC=2∠BDO ，过点D 作DM ⊥AC 于M ，①、求证：∠ABD=∠ACD ；②、若点E 在BA 的延⻓长线上，求证：AD 平分∠CAE ；③、当点A 运动时，（AC-AB ）/AM 的值是否发⽣生变化？若不不变，求其值；若变化，请说明理理由。

AOMNEF 图1AB CD EF图2ABCD EF图3⼆二、等腰直⻆角三⻆角形模型1.在斜边上任取⼀一点的旋转全等：操作过程：（1）.将△ABD逆时针旋转，使△ACM≌△ABD，从⽽而推出△ADM为等腰直⻆角三⻆角形.（但是写辅助线时不不能这样写）（2）.过点C作，连AM导出上述结论.2.定点是斜边中点，动点在两直⻆角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.（1）.使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=，导出△BDF≌△ADE.（1）、例例题应⽤用：①.解析：⽅方法⼀一：过点C作，⽅方法⼆二：②.证明：⽅方法⼀一：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.⽅方法⼆二：过点M作MN⊥EC交EC于点N，得出MN为直⻆角梯形的中位线，从⽽而导出△MEC为等腰直⻆角三⻆角形.（2）、练习巩固：①已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.①、是判断△OMN的形状，并证明你的结论.②、当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的⾯面积如何变化？思路路：两种⽅方法：②在正⽅方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE=∠DCF为多少度.提示如右图：3.构造等腰直⻆角三⻆角形（1）、利利⽤用以上的1和2都可以构造等腰直⻆角三⻆角（略略）；（2）、利利⽤用平移、对称和弦图也可以构造等腰直⻆角三⻆角.如下图：图3-1图3-2操作过程：在图3-2中，先将△ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三⻆角形，再将此三⻆角形沿⽔水平⽅方向向右平移⼀一个正⽅方形边⻓长的⻓长度单位，使A与M，D与E重合.例例题应⽤用：已知：平⾯面直⻆角坐标系中的三个点，，求∠OCA+∠OCB的度数.4.将等腰直⻆角三⻆角形补全为正⽅方形，如下图：图4-1图4-2例例题应⽤用：思路路：构造正⽅方形ACBM，可以构造出等边△APM，从⽽而造出，⼜又根据，可得，再由于，故⽽而得到从⽽而得证.例例题拓拓展：若△ABC不不是等腰直⻆角三⻆角形，即，⽽而是，其他条件不不变，求证：∠2=2∠1.练习巩固：在平⾯面直⻆角坐标系中，A（0,3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C 三点围成等腰直⻆角三⻆角形时，求点B、C的坐标.（1）、当点B为直⻆角顶点：图1图2（2）、当点A为直⻆角顶点：图3图4（3）、当点C为直⻆角顶点：图5图6三、三垂直模型（弦图模型）①.②.③.由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导由△ABE≌△BCD导出ED=AE-CD出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD1.例例题应⽤用：例例1.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF.求证：∠ADB=∠CDF.思路路：⽅方法⼀一:过点C作MC⊥AC交AF的延⻓长线于点M.先证△ABD≌△CAM，再证△CDF≌△CMF即可.⽅方法⼆二：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF，再证△CDF≌△ADH即可.⽅方法三：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF≌Rt△BMH，得出HF∥AC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位线从⽽而推出MD∥AB，⼜又由于，故⽽而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD为线段HF的中垂线.所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2，则∠ADB=∠CDF.例例1拓拓展（1）：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AM=CN，AF⊥B M于E，交BC于F，连接NF.求证：①∠ADB=∠CDF.②BM=AF+FN思路路：同上题的⽅方法⼀一和⽅方法⼆二⼀一样.拓拓展（2）：其他条件不不变，只是将BM和FN分别延⻓长交于点P，求证：①PM=PN,②PB＝PF+AF.思路路：同上题的⽅方法⼀一和⽅方法⼆二⼀一样.例例2.如图2-1，已知AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直⻆角三⻆角形，∠EAB=∠CDF=，AD=2，BC=5，求四边形AEDF的⾯面积.图2-1解析：如图2-2，过点E、B分别作EN⊥DA，BM⊥DA交DA延⻓长线于点N、M.过点F、C分别作FP⊥AD，CQ⊥AD交AD及AD延⻓长线于点P、Q.∵△ABE和△CDF是等腰直⻆角三⻆角形，∴∠EAB=∠CDF=，AE=AB，DF=CD.∵EN⊥DA，BM⊥DA，FP⊥AD，CQ⊥AD，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC=.∴∠ENA=∠MBA，∠FDP=∠QCD.∴△ENA≌△ABM，△FPD≌△DQC.∴N E=AM，PF=DQ.∴N E+PF=DQ+AM=MQ-AD.∵AD∥BC，CQ∥BM，∠BMN=，∴四边形BMQC是矩形.∴BC=MQ∵AD=2，BC=5∴N E+PF=5-2=3∴图2-22.练习巩固：（1）、如图（1）-1，直⻆角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=，是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边做正⽅方形ABFE，EP⊥于点P.求证：2EP+AD=2CD.（1）-1（1）-2（2）、如图，在直⻆角梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，AB=AC，E是AB的中点，CE⊥BD.①求证：BE=AD；②求证：AC是线段ED的垂直平分线；③△BCD是等腰三⻆角形吗？请说明理理由.四、⼿手拉⼿手模型1.△ABE和△ACF均为等边三⻆角形结论：（1）.△ABF≌△AEC（2）.∠BOE=BAE=（“⼋八字模型证明”）（3）.OA平分∠EOF拓拓展：条件：△ABC和△CDE均为等边三⻆角形结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三⻆角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三⻆角形证明）2.△ABD和△ACE均为等腰直⻆角三⻆角形结论：（1）、BE=CD（2）BE⊥CD3.ABEF和ACHD均为正⽅方形结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF变形⼀一：ABEF和ACHD均为正⽅方形，AS⊥BC交FD于T，求证：①M为FD的中点.②⽅方法⼀一：⽅方法⼆二：⽅方法三：变形⼆二：ABEF和ACHD均为正⽅方形，T为FD的中点，求证：AS⊥BC4．当以AB、AC为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=.五、双垂直+⻆角平分线模型结论：AE=AF拓拓展：若AP平分∠BAD，其他条件不不变，求证：AP⊥CF六、半⻆角模型条件：思路路：（1）、延⻓长其中⼀一个补⻆角的线段（延⻓长CD到E，使ED=BM，连AE或延⻓长CB到F，使FB=DN，连AF）结论：①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM （2）、对称（翻折）思路路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但⼀一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）例例题应⽤用：例例1、在正⽅方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满⾜足MN=BM+DN，求证：①.∠MAN=②.③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.思路路同上略略.例例1拓拓展：在正⽅方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延⻓长线上移动，①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量量关系.②.求证：AB=AH.提示如图：例例2.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满⾜足EF=BE+DF.求证：提示：练习巩固：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上的点，且.求证：EF=BE+DF.提示：。