全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
（一）角平分线的性质模型
辅助线：过点G作GE1射线AC
A、例题
1、如图，在△ ABC中，/ C=90° AD 平分/ CAB, BC=6cm, BD=4cm，那么点D 到直线AB 的距离是cm.
2、如图，已知，/ 1 = Z 2，/ 3=7 4,求证：AP平分/ BAC.
B、模型巩固
1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB, AD= CD, BD平分/ ABC,求证：7 A+7 C= 180°
(二)角平分线+垂线，等腰三角形必呈现 A 、例题
求证：
BE J(AC _AB).
2
例2、如图，在△ ABC 中，/ BAC 的角平分线 AD 交BC 于点D ,且AB = AD,作CM
丄AD 交 AD 的延长线于 M.求证：AM =-(AB AC).
辅助线：延长 ED 交射线OB 于F 例 1、如
图，在△ ABC 中，/ ABC = 3/ C,
辅助线：过点E 作EF//射线OB
AD 是/ BAC 的平分线，BE X AD 于F .
（三）角分线，分两边，对称全等要记全
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使0B= 0A,从而使△ OAW A OBC .
A、例题
1、如图，在△ ABC 中，/ BAC=60°,Z 0=40°, AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC 交AC 于Q,求证：AB+ BP= BQ+ AQ .
2、如图，在△ ABC中，AD是/ BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+ PC与AB+ AC的大小，并说明理由.
B、模型巩固
1、在厶ABC中，AB> AC, AD是/ BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）求证：AB-AC> PB— PC .
2、如图，△ ABC 中，AB= AC,/ A= 100。
，/ B 的平分线交AC 于D, 求证：AD+ BD= BC .
3、如图，△ ABC中，BC= AC, / C= 90°,/ A的平分线交BC于D, 求证：AC+ CD= AB .
:■、等腰直角三角形模型
（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等:
操作过程：
（1）将厶ABD逆时针旋转90°,得厶ACM也△ ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形（2）辅助线作法：过点C作MC丄BC,使CM= BD,连结AM.
（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等:
操作过程：连结AD.
(1 )使BF= AE (或AF= CE ,导出△ BDF 也△ ADE. (2)使/ EDF+Z BAC= 180°,导出△ BDF 也△ ADE.
A、例题
1、如图，在等腰直角△ ABC中，/ BAC= 90°,点M、N在斜边BC上滑动，且/ MAN = 45 试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°, 60°角的直角三角板ADE和ABC,按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD,取BD的中点M，连接ME、MC.
试判断△ EMC的形状，并证明你的结论•
B、模型巩固
1、已知，如图所示，Rt A ABC中，AB= AC, / BAC= 90°, O为BC中点，若M、N分别在线段AC AB上移动，且在移动中保持AN= CM.
(1)试判断△ OMN的形状，并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段AC AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？
2、在正方形ABCD中，BE= 3，EF= 5，DF= 4，求/ BAE+Z DCF为多少度.
（三）构造等腰直角三角形
（1 ）禾9用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）（2 ）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形•
（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图:
A、例题应用
1、如图，在等腰直角△ ABC中，AC= BC,/ ACB= 90°, P为三角形ABC内部一点, 满足PB= PC, AP= AC,求证：/ BCP= 15° .
A、例题
已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC,/ BAC= 90°, D为AC中点，AF丄BD于点E,交
BC于F,连接DF . 求证：/ ADB=/ CDF .
变式1、已知：如图所示，在△ ABC中，AB= AC, AM = CN, AF丄BM于E,交BC于F,连接NF .求证：(1)/ AMB=/ CNF; (2) BM = AF+ FN .
三、三垂直模型（弦图模
型）
①
.
由厶ABE^ABCD导出
ED=AE<D
由公ABE^ABCD甘
出EC=AB-CD
由厶ABE^ABCD
BC=BE+ED=AB+CD
变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将
BM和FN分别延长交于点P,
求证：（1）PM= PN; （2）PB= PF+ AF .
四、手拉手模型
1 >△ ABE和厶ACF均为等边三角形
结论：(〔)△ ABF^A AEC .
(2)Z BOE=Z BAE= 60 °
(3)OA平分/ EOF •(四点共圆证)
拓展：△ ABC和厶CDE均为等边三角形
结论：(1) AD= BE;
(2)Z ACB=Z AOB;
(3) A PCQ为等边三角形；
(4)PQ// AE;
(5)AP= BQ;
(6)CO平分/ AOE;(四点共圆证)
(7)OA= OB+ OC;
(8)OE= OC+ OD .
((7), ( 8)需构造等边三角形证明)
例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM BM CM以AB为一边向外作等边三角形厶ABE将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN
(1)求证：△ AMB^A ENB
(2)若AM+BM+C的值最小，则称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点，
试求此时/ AMB / BMC / CMA的度数；
(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以厶ABC
的AB AC为一边向外作等边△ ABE和等边△ ACF连接CE BF,设交点为M则点M 即为△ ABC的费尔马点•试说明这种作法的依据.
2、\ ABD和厶ACE均为等腰直角三角形结论：（1）BE= CD; （2）BE X CD .
3、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形
结论：(1)BD= CF; (2) BD X CF .
变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形, 求
证：（1）T 为FD 中点；（2）S I A BC=S；ADF AS丄BC交FD于T,
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S, 求证：AS丄BC .
4、如图，以△ ABC的边AB AC为边构造正多边形时，总有：.1- 2=180 -
五、半角模型
1
条件：,且：+二=180 ,-两边相等.
2
思路：1、旋转
辅助线：①延长CD到E,使ED=BM连AE或延长CB到F,使FB=DN连AF
②将△ ADN绕点A顺时针旋转90°得厶ABF,注意：旋转需证F、B M三点共线
/结论：(1) MN = BM + DN;
(2)C、CMN =2 AB ;
(3)AM、AN 分别平分/ BMN、/ MND .
2、翻折（对称）
辅助线：①作AP I MN交MN于点P M P、N三点共线
②将△ ADN △ ABM分别沿AN AM翻折，但一定要证明
A、例题
例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC CD上移动，且满足MN = BM + DN, 求证：(1)Z MAN = 45°;
(2)C、CMN =2 AB ;
(3)AM、AN 分别平分/ BMN 和/ DNM .
变式：在正方形ABCD中，已知/ MAN = 45°，若M、N分别在边CB DC的延长线上移动, AH丄MN，垂足为H,
(1)试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；
(2)求证：AB= AH
例2、在四边形ABCD中，/ B+Z D= 180° , AB= AD,若E、F分别为边BC CD上的点,
1
且满足EF= BE+ DF,求证：.EAF BAD .
2
变式：在四边形ABCD中，Z B= 90°,Z D= 90°, AB= AD,若E、F分别为边BC、CD上
1 的点，且• EAF BAD，求证：EF= BE+ DF .
2。