全等三角形相关模型总结
一、角平分线模型
（一）角平分线的性质模型
辅助线：过点G作GE丄射线
AC
A、例题
1、如图，在△ABC中，Z C=90°,AD平分Z CAB,BC=6cm,BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.
2、如图，已知，Z1=Z2,Z3=Z4,求证：AP平分Z BAC.
B、模型巩固
1、如图，在四边形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分Z ABC，求证：Z A+Z C=180°.
BE=1(AC-AB).
例2、如图，在△ABC 中,Z BAC 的角平分线AD 交BC 于点D ,且AB =AD ,作CM 丄AD 交 AD 的延长线于M.求证：AM=2（AB+AC ）.
2
（二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A 、例题
A
E
♦B
O
B
辅助线：延长ED 交射线OB 于F 辅助线：过点E 作EF 〃射线
OB 例1、如图，在A ABC 中，Z ABC =3Z C ,AD 是Z BAC 的平分线，BE 丄AD 于F. 求
A
E C
D
B
三）角分线，分两边，对称全等要记全
c
N
B B
两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B,使OB=OA,从而使△OAC9A OBC.
A、例题
1、如图，在△ABC中，Z BAC=60°,Z C=40°,AP平分Z BAC交BC于P,BQ平分Z ABC交AC 于Q,求证：AB+BP=BQ+AQ.
2、如图，在△ABC中，AD是Z BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
B、模型巩固
1、在厶ABC中，AB>AC,AD是Z BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.求证：AB-AC>PB-PC.
2、如图，A ABC中，AB=AC,Z A=100°,Z B的平分线交AC于D,
求证：AD+BD=BC.
3、如图，A ABC中，BC=AC，Z C=90°，Z A的平分线交BC于D，求证：AC+CD=AB.
二、等腰直角三角形模型
(一)旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等
操作过程：
(1)将厶ABD逆时针旋转90°，得△ACM9△ABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形.
(2)辅助线作法：过点C作MC I BC，使CM=BD，连结AM.
(二)旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：
操作过程：连结AD.
(1)使BF=AE(或AF=CE),导出△BDF9△ADE.
(2)使Z EDF+Z BAC=180°，导出△BDF9△ADE.
A、例题
1、如图，在等腰直角△ABC中，Z BAC=90°，点M、N在斜边BC上滑动，且Z MAN=45°,试探究BM、MN、CN之间的数量关系.
2、两个全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M,连接M E、M C.
试判断A EMC的形状，并证明你的结论.
B、模型巩固
1、已知，如图所示，Rt^ABC中，AB=AC，Z BAC=90°，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移
动，且在移动中保持AN=CM.
(1)试判断A OMN的形状，并证明你的结论.
(2)当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？
2、在正方形ABCD中，BE=3,EF=5,DF=4,求Z BAE+Z DCF为多少度.
三）构造等腰直角三角形
1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）
2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.
四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：
A、例题应用
1、如图，在等腰直角△ABC中，AC=BC,Z ACB=90°,P为三角形ABC内部一点,满足PB=PC,AP=AC，求证：Z BCP=15°.
diAABE^ABCD d 岀 ED=AE-CD
由公ABE^ABCD 悼出EC=AB-CD tilAABE^ABCD 艸出BC=BE+ED=AB+CD
A 、例题
已知：如图所示，在A ABC 中，AB =AC ,Z BAC =90°,D 为AC 中点，AF 丄BD 于点E ,交BC 于F ,连接DF.
变式1、已知：如图所示，在△ABC 中，AB =AC ,AM =CN ,AF 丄BM 于E ,交BC 于F ,连接NF.
求证：（1）Z AMB =Z CNF ；（2）BM =AF +FN.
三、三垂直模型（弦图模型） ①.
②
. ③-
求证：Z ADB =Z CDF.
变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM 和FN 分别延长交于点P ,
求证：（1）PM =PN ；（2）PB =PF +AF.
四、手拉手模型
「△ABE和厶ACF均为等边三角形结论：
(1)A ABF9A AEC.
(2)Z BOE=Z BAE=60°.
(3)OA平分Z EOF.(四点共圆证
拓展：A ABC和A CDE均为等边三角形
结论：(1)AD=BE；
(2)Z ACB=Z AOB；
(3)A PCQ为等边三角形；
(4)PQ〃AE；
(5)AP=BQ；
(6)CO平分Z AOE；(四点共圆证
(7)OA=OB+OC；
(8)OE=OC+OD.
((7),(8)需构造等边三角形证明)
例、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM.以AB为一边向外作等边三角形厶ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证：△AMB9AENB；
(2)若AM+BM+CM的值最小，贝称点ABC的费尔马点.若点ABC的费尔马点，试求此时
ZAMB、ZBMC、ZCMA的度数；
(3)小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以
4BC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
3、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形结论：（1）BD =CF ；（2）BD 丄CF.
变式1、四边形ABEF 和四边形ACHD 均为正方形，AS 丄BC 交FD 于T ,求证：（1）T 为FD 中点；（2）SS
ABC ADF
2、A ABD 和A RCE 均为等腰直角三角形结论：（1）BE =CD ；（2）BE 丄CD.
F
变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S,
求证：AS丄BC.
H
360°
4、如图，以A ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：Z1=Z2=180°-
五、半角模型
条件：a =
1
卩,且卩+9=180。

，卩两边相等.
思路：1、旋转
辅助线：①延长CD 到E,使ED=BM ，连AE 或延长CB 到F,使FB=DN,连AF
②将△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得厶ABF ，注意：旋转需证F 、B 、M 三点共线
2、翻折（对称）
辅助线：①作AP 丄MN 交MN 于点P
②将△ADN、AABM 分别沿AN 、AM 翻折，但一定要证明M 、P 、N 三点共线.
结论：（1）MN =BM +DN ；
(2) C CM
NN 2
A B ；
(3)AM 、AN 分另Ll 平分Z BMN 、Z MND.
E
A、例题
例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN,求证：（1）Z MAN=45°；
AB；
2）例2、在四边形ABCD中，Z B+Z D=180°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上的点,且满足EF=BE+DF，求证：ZEAF=2/BAD.
(3)AM、AN分另Ll平分ZBMN和ZDNM.
变式：在正方形ABCD中，已知Z MAN=45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动,
AH丄MN,垂足为H,
（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；
（2）求证：AB=AH
变式：在四边形ABCD中，Z B=90°,Z D=90°,AB=AD,若E、F分别为边BC、CD上的点，且/EAF=2/BAD，求证：EF=BE+DF.。