2017-2018学年度高二期末考试试题（理科数学）考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.已知集合，，则（ ） A. (1,1]- B. C.D.2.抛物线的准线方程为（ ）A. 116y =-B.116y = C. 1y = D. 1y =- 3．设p 、q 是两个命题，若()p q ⌝∨是真命题，那么（ ） A ．p 是真命题且q 是假命题B ．p 是真命题且q 是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是假命题且q 是假命题 4．已知(3),1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，((1))3f f =，则a =（ ）A.2B.-2C.3-D.3 5．函数()2cos()3f x x π=-的单调递增区间是（ ）A 、42233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ B 、22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈C 、22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ D 、242233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈6.函数12018()()cos 212018xxf x x -=+的图象大致为（ ） A. B.C. D.7.将7个座位连成一排，安排4个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 240 B. 480 C. 720 D. 9608．高三某班有60名学生（其中女生有20名），三好学生占61，而且三好学生中女生占一半，现在从该班任选一名学生参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率是（ ） （A ）61 （B ）81 （C ）101 （D ）121 9．已知命题：①函数2(11)xy x =-≤≤的值域是1[,2]2； ②为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度；③当0n =或1n =时，幂函数ny x =的图象都是一条直线；④已知函数2|log |,02()12,22x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是(2,4).其中正确的命题个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 10．函数sin sin()3y x x π=+的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（ ） A. 12π B. 6πC. 3πD. 2π11.已知锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2b a ac =+，则()2sin sin A B A -的取值范围是（ ）A. 20,2⎛ ⎝⎭B. 132⎛ ⎝⎭C. 12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 3⎛ ⎝⎭ 12.设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足11'()()ln ,()xf x f x x x f e e-==，则()f x （ ）A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，也有极小值D.既无极大值，也无极小值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则n 等于_________.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB,CD 的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为__________．15.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，8b =，且223cosB 5ac a b bc =-+，O 为ABC ∆内一点，且满足00,30OA OB OC BAO ++=∠=u u u v u u u v u r u u v ，则OA =u u u v __________．16.已知函数()1,()ln xf x e axg x x ax a =--=-+，若存在0(1,2)x ∈，使得00()()0f x g x <，则实数a 的取值范围__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 已知函数11)(-++=mx x x f .（1）若1=m ，求()f x 的最小值，并指出此时x 的取值范围； （2）若()2f x x ≥，求m 的取值范围. 18.（本题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈，曲线2C 的参数方程为x ty a t=⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1） 求曲线1C 的直角坐标方程；曲线2C 的极坐标方程。

（2） 当曲线1C 与曲线2C 有两个公共点时，求实数a 的取值范围.19. （本小题满分12分）已知向量1(cos ,1),(3sin ,)2a xb x =-=-r r ,函数()()2f x a b a =+-r r r g（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，三内角，，的对边分别为，已知函数的图象经过点，若成等差数列，且9AB AC =u u u r u u u rg ，求的值.20.(本小题满分l2分) 已知函数()()()2log 2x f x k k R =+∈的图象过点()0,1P .(1)求k 的值并求函数()f x 的值域；(2)若关于x 的方程()f x x m=+有实根，求实数m 的取值范围；(3)若函数()()[]1222,0,4x f x h x a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-⋅∈，则是否存在实数a ，使得函数()h x 的最大值为0,若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12分）随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？22.（本小题满分12分）已知函数，其中.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.高二期末考试数学试题（理科）答案一、选择题1~5 ：CADCC 6~10 ：ABBCB 11~12：CD 二、 填空题13 .8 14.2 15. 6415 16.21(ln 2,)2e - 17（1）2)1()1(11)(=--+≥-++=x x x x x f ， 当且仅当0)1)(1(≤-+x x 时取等号，故)(x f 的最小值为2，此时x 的取值范围是]1,1[-. （2）0≤x 时，x x f 2)(≥显然成立，所以此时R m ∈；0>x 时，由x mx x x f 211)(≥-++=，得11-≥-x mx .由1-=mx y 及1-=x y 的图象可得1≥m 且11≤m， 解得1≥m 或1-≤m .综上所述，m 的取值范围是(,1][1)-∞-⋃+∞18（1）由2cos ρθ=得 22cos ρρθ=，即：22222,(1)1x y x x y +=-+=，[0,]2πθ∈Q ∴曲线1C 为以（1,0）为圆心，1为半径的圆的上半部分，从而直角坐标方程为：22(1)1(0)x y y -+=≥.-曲线2C 的极坐标方程为sin cos 0a ρθρθ+-= (2) 直线l 的普通方程为：0x y a +-=，当直线l 与半圆22(1)1(0)x y y -+=≥相切时112a -=，解得12a =-（舍去）或12a =+，当直线l 过点（2,0）时，2a =，故实数a 的取值范围为[2,12)+.19．（1）最小正周期：， 由得：所以的单调递增区间为：;（2）由可得：所以,又因为成等差数列，所以，而， .20 （1）因为函数()()2log 2x f x k=+()k R ∈的图象过点()0,1P ，所以()01f =，即()2log 11k +=，所以1k =，所以()()2log 21x f x =+，因为20x >，所以211x+>，所以()()2log 210x f x =+>， 所以函数()f x 的值域为()0,+∞.（2）因为关于x 的方程()f x x m =+有实根，即方程()2log 21x m x =+-有实根，即函数()2log 21x y x =+-与函数y m =有交点，令()()2g log 21x x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y m =有交点，()()()22222211g log 21log 21log 2log log 122x xxxx xx x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为()g x 在R 上是减函数 因为1112x +>，所以()()21g log 10,2xx ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭， 所以实数m 的取值范围是()0,+∞. （3）由题意知()1222122221x x xxh x a a +=+-=-+，[]0,4x ∈，令22x t =，则()[]221,1,4t t at t φ=-+∈，当52a ≤时，()()max 41780t a φφ==-=，所以178a =， 当52a >时，()()max 1220t a φφ==-=，所以1a =（舍去），综上，存在178a =使得函数()h x 的最大值为0.21.（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率，故可估计概率为，显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数服从二项分布，即，故所求概率为（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：） 1 2 3 4 5快递费（单位：元）10 15 20 25 30包裹件数43 30 15 8 4故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100101～200 201～300301～400401～500包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450实际揽件数50 150 250 350 450频率0.1 0.1 0.5 0.2 0.150×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数范围0～100 101～200 201～300 301～400 401～500 包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 0.10.10.50.20.150×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人. 22．（1）当时，，故，且，故 所以函数在处的切线方程为（2）由，可得因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个不等正根，即的两个不等正根为所以，即4a ∴>所以令，故，在上单调递增，所以故得取值范围是（3）据题意，对任意的实数恒成立， 即对任意的实数恒成立.令，则①若，当时，，故符合题意；②若，（i ）若，即，则，在上单调赠所以当时，，故符合题意；（ii）若，即，令，得（舍去），，当时，，在上单调减；当时，，在上单调递增，所以存在，使得，与题意矛盾，所以不符题意.③若，令，得当时，，在上单调增；当时，，在上单调减.首先证明：要证：，即要证：，只要证：因为，所以，故所以其次证明，当时，对任意的都成立令，则，故在上单调递增，所以，则所以当时，对任意的都成立所以当时，即，与题意矛盾，故不符题意，综上所述，实数的取值范围是.也可以用不同方法处理。