§11-4 势能 · 机械能守恒定律
一、势力场 力场 若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方
向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。 势力场 在力场中，若作用于质点的力所作功仅决定于质点
的始末位置，而与运动路径无关，这种力场称为势力场。
例如： 重力场，弹性力场，万有引力场。
在势力场中质点受到的力称为有势力或保守力。
13
质点系动能定理
[例11-2] 已知滑块A的质量为 m1，质点B的质量为m2 ， 杆AB长度为 l ，质量不计，可绕A点转动，且与铅垂线
夹角为θ ，滑块A速度为vA。
求：系统的动能。
A
vA
解： 滑块 A作直线平移，有
TA
=
1 2
m1vA2
杆AB作平面运动，以 A
为基点，则B点速度为
vB = v A + vBA
解：（1）取整个系统为研究对象 （2）受力分析，计算力的功 W12 = mgh （3）运动分析，计算功能 T1 = 0
因 ∑ Fxe = 0，故C点铅垂落下。
C
vC
h
mg mg
A
B
FA
FB
由A、C两点速度方向，可 知A即为杆AC的速度瞬心。
28
质点系动能定理
当铰C落地时
ω AC
=
vC l
,
ω BC
(Fx
d
x
+
Fy
d
y
+
Fz
d z（) 直角坐标形式）
——解析表达式 4
质点系动能定理
三、几种常见力作的功
1. 重力的功 质点
W12 = mg ( z1 − z2 )
质点系
∑ W12 = mi g(zi1 − zi2 )
Fx = 0, Fy = 0, Fz = −mg
= mg(zC1 − zC 2 )
=
1 2
m2 R2 2
+
m2 R2 2
=
3 2
m2 R2 2
设圆柱中心C的速度为vC，则由运动学关系有 23
质点系动能定理
ω1
=
vC R1
,
ω2
=
vC R2
∴
T2
=
1 4
(2m1
+
3m2 )vC2
（4）应用质点系动能定理
P
T2 − T1 = W12
1 4
(2m1
+
3m2
)vC2
−0= M
s R1
−
2
• 正标量，与速度方向无关； • 量纲与功相同，单位也是焦耳（J）； • 与动量的比较
同： 均是机械运动强弱程度的一种度量； 异： 动能与质点速度平方成正比，为标量；
动量与质点速度一次方成正比，为矢量。
10
质点系动能定理
二、质点系的动能
∑ ？ T =
1 2
mi
vi
2
=
1 2
mv
2 C
vi2 = vi ⋅ vi = vC2 + vi2r + 2vC ⋅ vir x
25
质点系动能定理
[例11-4] 行星齿轮机构 （在水平面内）
已知：动齿轮半径 r ，质量 m1，视 为均质圆盘；曲柄质量 m2 ，长 l ， 作用常力偶矩M。由静止开始转动。
求：曲柄的角速度和角加速度。
（表示为转角ϕ 的函数）
解：（1）取整个系统为研究对象
（2）受力分析，并计算力的功 系统具有理想约束，内力作功和为零，
质点系动能定理
基 础 部 分 —— 动 力 学
第 11 章 质点系动能定理
2014年12月15日Monday
1
质点系动能定理
第11章 质点系动能定理
§11-1 力的功 §11-2 质点系的动能 §11-3 质点系动能定理 §11-4 势能 · 机械能守恒定律 §11-5 动力学普遍定理综合应用 §11-6 本章讨论与小结
盘质量为m2 ，半径为 R。初始时两者静止，下落至图示
位置时杆的角速度为ω0 ，求系统的总动能。
解：杆OA作定轴转动，故有
T杆
=
1 2
(
1 3
m1l
2
)ω02
由盘相对于质心的动量矩
O
ω0
A A
定理，可知盘作平移，故有 ωA = ?
T盘
=
1 2
m2vA2
=
1 2
m2
(ω
0l
)
2
T系统 = T杆 + T盘
d riC
Fi
dϕ
Mi
d rC C
= FR ⋅ d rC + M C ⋅ d ϕ
作用于刚体上力系作功为
FR —力系主矢 M C—力系对质心主矩
∫ ∫ W12 =
C2 C1
FR
d rC
+
ϕ2 ϕ1
MC
dϕ
力系主矢的功
力系对质心主矩的功
9
质点系动能定理
§11-2 质点系的动能
一、质点的动能 1 mv 2
质点系动能定理
3. 定轴转动刚体上作用力的功
力F 的元功为
dW = F ⋅dr = Ft d s = Ft R dϕ ∵ Ft R = M z (F ) = M z
∴ dW = Mz dϕ
当刚体从 ϕ1到ϕ2的转动过程
中力F 所作的功为
∫ W12 =
ϕ2 ϕ1
M
z
dϕ
上式也适用于力偶。 7
质点系动能定理
可见：质点系重力作功仅与质心运动始、末位置的高度 差有关，而与质心运动路径无关。
5
质点系动能定理
2. 弹性力的功
直线弹簧
FF = k−δk (=rk−(rl0−)lr00)
W12
=
k 2
(δ12
−
δ
2 2
)
——δ1和δ2为弹簧变形量 扭转弹簧Fra bibliotekW12
=
k 2
(θ12
−θ22)
可见：弹簧力的功也与运动路径无关。 6
4. 平面运动刚体上力系的功 刚体上任一力Fi作用点Mi
的无限小位移为
d ri = d rC + d riC
d riC θ Fi
dϕ
Mi
d rC C
式中： d riC = M iC ⋅ dϕ
力Fi 作的元功为
d rC —质心无限小位移
dϕ —刚体无限小转角
dWi = Fi ⋅ d ri = Fi ⋅ d rC + Fi ⋅ d riC
质点系动能定理
三、刚体的动能
1. 平移刚体
∑ T =
1 2
mi
vi2
=
1 2
mvC2
2. 定轴转动刚体
∑ ∑ T =
1 2
mivi2
=
1 2
mi
(ωri
)
2
=
1 2
J zω 2
3. 平面运动刚体
T
=
1 2
mvC
2
+
1 2
J
Czω
2
=
1 2
J Pzω 2
12
质点系动能定理
[例11-1] 质量为m1的均质细杆OA绕水平轴O转动，其 另一端有一均质圆盘，可绕A轴转动。已知：OA= l，圆
19
质点系动能定理
dW = −FA ⋅ drAB
(1) drAB ≠ 0
dW ≠ 0
即当两点之间距离改变时，内力作功之和不等于零。
例如：变形体的内力； 汽车发动机的内力；
机器中轴和轴承之间的摩擦力。
(2) drAB = 0
dW = 0
即当两点之间距离保持不变时，内力作功之和等于零。
例如： 刚体内力；
其中： Fi ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ d riC = Fi cosθ ⋅ MiC ⋅dϕ = M C (Fi ) ⋅ dϕ
8
质点系动能定理
dWi = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
∑ 力系元功：dW = dWi ∑ ∑ = Fi ⋅ d rC + M C (Fi ) ⋅ dϕ
=
vC l
T2 =
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
AC
2
+
1 2
1 ( 3
ml
2
)ω
BC
2
=
1 3
mvC
2
（4）应用质点系动能定理，得
1 3
mvC 2
−
0
=
mgh
vC = 3gh
思考：若要求铰C到达地面时的加速度，则能否直接对 上式求导？
思考：若杆AC质量为2m，其它条件不变，则结果如何？
29
质点系动能定理
m2 g
⋅ sinθ
⋅
s
解得
vC = 2
(M − m2 gR1 sinθ )s
R1(2m1 + 3m2 )
24
质点系动能定理
应用动能定理的解题步骤： （1）选取研究对象；（ 一般取整个系统） （2）分析受力，计算力的功；
z 区分主动力与约束力 z 在理想约束情况下约束力不做功 z 考虑内力作功和是否为零 （3）分析运动，计算质点系在起点和终点的动能； （4）应用质点系动能定理建立方程，求解未知量。
1 2
mv22
−
1 2
mv12
=
W12
二、质点系动能定理
——微分形式 ——积分形式