数值分析试题答案1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3(x)f x =，要求（1）取节点011,1x x =-=作线性插值 （2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值 答案：（1）代入方程得0110100101,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+-=-（2）代入方程得1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x)y x(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------=++=------2、给出数据点：012343961215i i x y =⎧⎨=⎩ 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插值多项式3()Nx ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。

33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250,()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54(1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈-=四（分）3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。

答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+xxxxxx差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差1 23 6 24 5 -1 -15 4 -1 0 41)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33---+----+==xxxxxxxNxP5.5)2()2(3=≈Pf4、求一个次数不高于3的多项式，满足下列插值条件：解：（1）利用插值法加待定系数法：设满足则（3分）再设（3分）1 2 32 4 1235、试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dxx f I)]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I41]30[121]1[21=-+=n I 4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度6、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度。

答案：2,,1)(x x x f =是精确成立，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(11f f f f dx x f +-++-=⎰-当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4)(x x f =时，左=52，右=31。

所以代数精度为3。

7、试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：（1）0133=--x x ，20=x （2）0232=+--xe x x ，10=x（1）设13)(3--=x x x f ，则33)('2-=x x f ，牛顿迭代公式：),2,1,0()1(3123313)(')(23231=-+=----=-=+k x x x x x x x f x f x x k k k k k k k k k k ，迭代计算过程见下列表。

因为4231000006.0||-<≈-x x ，所以879.13=≈*x x 。

（2）设23)(2+--=x e x x x f ，则x e x x f --=32)('，牛顿迭代公式：),2,1,0(322)1(3223)(')(221=-----=--+---=-=+k e x x e x e x e x x x x f x f x x kk kk x k k x k x k x k k k k k k k ，迭代计算过程见下列表。

94 6 34 2 0.25739 0.01155N4 0.257530.00000Y因为4231000000.0||-<≈-x x ，所以2575.04=≈*x x 。

8、证明题（1）求方程3210x x --=在0 1.5x =附近的一个根，证明下列迭代过程中在区间[1.3,1.6]均收敛，改写方程为211x x =+相应的迭代公式为1211k k x x +=+。

答案：迭代函数21(x)1x ϕ=+可得(1.3) 1.592,(1.6) 1.391ϕϕ=='32(x)x ϕ=-在[1.3,1.6]上，'(x)0ϕ<(x)ϕ在区间[1.3,1.6]内(x)ϕ单调递减1.3<1.391<(x)ϕ<1.592<1.6又因为'(x)ϕ在[1.3,1.6]内单调递增'''0.9103(1.3)(x)(1.6)0.4883ϕϕϕ-=≤≤=--0.9103='(1.3)ϕ'(x)0.91031ϕ≤<由收敛定理知在区间[1.3,1.6]均收敛（2）证明确定后的求积公式具有3次代数精确度答案：求积公式含有三个待定系数，将()21,,f x x x =代入求积公式，并令其左右相等得1011123112(A -A )02(A +A )=3A A A h h h h ---⎧++=⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩得1104,33h hA A A -===， 所以求积公式至少有2次代数精确度，又由于333444(h)33(h)33hhh hh h x dx h h h x dx h --=-+≠-+⎰⎰所以求积公式求积公式具有3次代数精确度9、(10分)设32()()f x x a =-。

（1）写出解()0f x =的Newton 迭代格式；（2）证明此迭代格式是线性收敛的。

解：（1）因32()()f x x a =-，故'23()6()f x x x a =-。

由Newton 迭代公式：1'(),0,1,2,()k k k k f x x x k f x +=-= 得321232()5,0,1,2,6()66k k k k k k kx a ax x x k x x a x +-=-=+=-（2）上述迭代格式对应的迭代函数为25()66a x x x ϕ=+，于是'35()63a x x ϕ-=-，又*x =，则有'*35511()163632a x ϕ-=-=-=<且0≠，故此迭代格式是线性收敛的。

10、试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式，并考察迭代过程的收敛性。

答案（1）雅可比迭代公式：(1)，，迭代收敛。

（2）高斯-赛德尔迭代公式：(2) 将方程组（1）带入（2），经化简后，得：(3)，，迭代收敛。