细品二次函数小题 感受知识运用经典在中考中二次函数占举足轻重的地位，其小题更是涌现出其灵活性、创新性。

选择填空题虽阅读量小，但细品来，其解法灵活，且具有探索性，对学生的基础知识、基本技能及分析理解能力的要求不亚于一些压轴题。

现加以归类浅析，为大家以后解决小题提供经验：一、与a 、b 、c 有关例1 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数c ax y +=2的图象过正方形ABOC 的三个顶点A 、B 、C ，则ac 值为 。

解析：由已知易得A （0，c ）则正方形ABOC 的C 点坐标为（1c 2，1c 2 ），代入c ax y +=2得211c ac c 24=+，化简得ac 2=-。

例2 （2010邯郸）如图2，抛物线y=ax 2+bx+c ，OA=OC ，下列关系中正确的是 ( )A ．ac+1=bB ．ab+1=cC ．bc+1=aD ．ba+1=c 解析：由已知得C （0，c ），又OA=OC ，∴A(-c ，0)，将A 点代入y=ax 2+bx+c 得，0=2acbc c ac 1b -++=，得，即ac+1=b 。

选A 。

例3 （2009义乌）如图3，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则(1)abc 0(填“>”或“<”)； (2)a 的取值范围是 。

解析：（1）开口向下a ＜0，对称轴bx2a=-＞0，∴b＞0，C 是与y 轴交点的纵坐标，∴C ＞0,∴abc ＜0；（2）a 决定开口大小，a 越大，抛物线开口越小。

当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离大，且顶点接近x 轴（顶点与x 轴距离小）时，抛物线开口就大，即a最小，此时图1B AC图2图3抛物线经过点（-2，0），顶点为F （3,2），设这时的抛物线解析式为()2y a x 32=-+，代入点（-2，0），得2a25=-；当抛物线在x 轴的交点与抛物线对称轴的距离小，且顶点远离x 轴（顶点与x 轴距离大）时，抛物线开口就小，即a最大，此时抛物线经过点（-1，0），顶点E(1,2), 设这时的抛物线解析式为()2y ax 12=-+,代入点（-1，0）,得3a 4=-。

所以32a 425-≤≤-。

二、与阴影面积有关例4 （2010长春）如图4，抛物线y ＝ax 2＋c (a ＜0)交x 轴于点G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧．BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为解析：解此题关键是由已知条件得出四边形GODB 与四边形ODEF 关于y 轴对称，∴这两个四边形面积相等，即四边形GODB 为10，则阴影部分面积为10-6=4例5 (2010遵义市)如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-,()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4解析：因为两抛物线的二次函数都为12-，∴12122--=x y 是由12121+-=x y 向下平移2个单位得到的。

所以阴影部分面积可以转化为长为4，宽为2的矩形ABCD 的面积8，故选A 。

例6 （2009庆阳改编）如图6，是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，则S 取值最接近（ ）．A.4B.163C.2πD.8A G OBDCEF xy 图4图5ABCD图6O图8y·Px解析：设抛物线与坐标轴的交点A(-2,0),B(0,2),C(2,0).从图中可以看出，阴影部分面积在△ABC 面积和以O 为圆心2为半径的半圆的面积之间，即4＜S ＜2π，故选B 。

例7 （2008年杭州市）如图7，记抛物线21y x =-+的图象与x 正半轴的交点为A ，将线段OA 分成n 等份，设分点分别为1P ，2P ，…1n P -，过每个分点作x 轴的垂线，分别与抛物线交于点1Q ，2Q ，…1n Q -，再记直角三角形11OPQ ，122PP Q 的面积分别为1S ，2S ，这样就有21312n S n-=，22342n S n -=，…；记121n W S S S -=+++…，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ）A. 23B. 12C. 13D.14解析：此题有两种方法，方法一：结合图形，设抛物线与y 轴交点为B ，在第一象限所围成的图形面积大于等腰三角形OAB 的面积12，小于以O 为圆心，1为半径的14圆面积14π，而阴影部分面积是整个图形面积的一半，所以14＜W ＜18π，满足该条件的只有选C 。

方法二：从所给的式子入手：112n W=S +S ++S -=2312n n -+2342n n -+···+2232n n n -（-1）=()()233211622n n n n n n n---（-1）=21113212n n--，由结果可以看出，当n 越来越大时， W 最接近13。

三、与分类讨论有关例8 （2010宁波市）如图8，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12 x 2—1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_________________．解析：①当⊙P 在第二象限与x 轴相切时，则P 点的纵坐标为2，代入y ＝12x 2—1得1x 6=-，2x 6=（舍），∴()1p 62-，；图7②当⊙P 在第一象限与x 轴相切时，仿①方法得()2p 62，故圆心P 的坐标为()()6262-，或，。

注：⊙P 不可能在第三、四象限与x 轴相切，因为抛物线与y 轴交点为（0，-1），故抛物线上的点与x 轴距离最远是1＜2。

四、与探索规律有关例9 （2009兰州）二次函数22y x 3=的图象如图9所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2008B 在二次函数22y x 3=位于第一象限的图象上，若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ 。

解析：本题难度较大，考查利用二次函数及等边三角形的知识探 究线段的规律。

设B 1坐标（x 1,y 1）,因为△A 0B 1A 1为等边三角形，所以x 12=3y 12,又因为y 1=32x 12,所以，23y 1=3y 12,解得：y 1=21，所以A 0A 1=2y 1=1.设点B 2（x 2,y 2）, 因为△A 1B 2A 2为等边三角形，所以x 22=3（y 2-1）2，又因为y 2=32x 22,所以23y 2=3（y 2-1）2，解得：y 2=21或2，故y 2=2，所以A 1A 2=2（y 2-1）=2.同理可得A 2A 3=3.则发现规律：A n A n+1=n+1,所以当n=2007时，A 2007A 2008=2008。

五、与猜想论证有关例10 （2009湖州）已知图10中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析：将最左下角的个点作为坐标原点，建立坐标系。

由于二次函数的图像与纵向的每条方格线只有一个交点，所以它的图像经过的格点数必不大于9。

要想使它经过的格点数最多，使用对称的方法。

设解析式为1y a x x =（-）2x x （-）其中a ＜0，①当在每条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0），（8,0）两点。

则28y ax ax =-，所以 X0 1 2 3 4 5 6 7 8 28y ax ax =--7a-12a-15a-16a-15a-12a-7a图9图10 图10分析a 的取值得y 的值最多有5 个整数（当a=-12时），即函数的图像最多过5个格点； ②当在左面的八条竖线上都经过格点时，可设它经过（0,0），（7,0）两点，则27y ax ax =-，所以分析a 的取值可得y 的值最多有8个整数（当a=-12时），即函数的图像最多过8个格点 所以画出的抛物线最多经过8 个格点，选C 。

六、与阅读新定义有关例11（2010杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点. 其中正确的结论有（ ）A. ①②③④B. ①②④C. ①③④D. ②④解析：当m=-3时，函数为2642y x x =-++，其函数图象的顶点坐标是(31，38)，故①正确；2240b ac m x -=≥∴=（3+1），，∴12112m x x m --==， 则121311222m x x m m---=-=+，当m ＞0时，1232x x -，故②正确；当m ＜0时，函数的对称轴为111444m x m m -=-=-＞14，即对称轴在14x =的右侧，∴③不正确；当m≠0时，函数22y mxm x m =+（1-）+（-1-）=m ()2211x x x --+-=m()21x +()11x x -+-，所以当x=1时，y=0；当12x =-时，32y =-。

即函数经过点（1,0）或1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，故④正确。

七、与函数最值有关例12 （2010宿迁改编）如图11，在矩形ABCD 中， AB =4，BC =6，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边线段MP=且始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q ．BP =x ，CQ =y ，那么y 与x 之间的函数图象大致是（ ） 解析：由已知易得△ABP ∽△PCQ ，∴AB BP =PC CQ即46xx y=-，化简得21342y x x =-+，显然对于此二次函数当x=3时，y 有最大值是2.25。

大部分学生选C;但是当x=3时，MP=5＞x 取不到3，而x 取值范围是0～2（当M 与A 点重合，利用勾股定理求的BP=2），根据二次函数性质，结合图像知在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∴当x=2时，y 有最大值为2。