又 T 1 1 1
44 2
故AB
E E
T T
2 T T
1 2
E
例２ 设1 1 1 0T ，2 0 1 1T ，3 3 4 0T
3 1
求
, ,
1
2
3
2 1
11 .
解 31 22 3 1 2 3
1 0 3 0
31
0
22 3
1 2T .
3
1 0
V4 x x1 x2
xn T x1, x2, , xn R,且 xi 1
解 if a1 a2
an T V4有 ai 1
k 2,有 2ai 2 V4,
所以 V４不是一个向量空间.
例６ 设α,β 为两个已知的ｎ维向量试判断集合
V x , R 是否为向量空间.
解 if x1 1 1 , x2 2 2
kan
称为数ｋ与向量α的数量积.
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
x1
3、转置
x2
T x1 x2
xn
4、乘法
xn
对于ｎ维行向量 T x1 x2
xn
x1
T
x2
x1
x2
xn 为ｎ阶方阵；
xn
T x1 x2
x1
xn
x2
为一阶方阵，即一个数.
2
1 1
1
4 0
1 2
1 0 3 4
1 2
4 4
3
1T .
1
1 0
1
1 1
1
4 0
41
四、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A : 1,2 , ,s .or. i
例如 对于一个 m 矩n 阵有ｎ个ｍ维列向量.
例５ 判别下列集合是否为向量空间.
V3 x x1 x2
xn T x1, x2, , xn R,且 xi 0
解 if V３, V３, 有 ai 0, bi 0
有 ai bi 0 V3
k R, k kai 0 k V3,
所以V3 是一个向量空间.
ain
T i
am1 am2 amn
T m
向量组 A : 1T ,2T ,
,
T为矩阵Ａ的行向量组．
m
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 1,2 , ,n
构成一个 m n 矩阵. A 1 2
n
ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组
1T
,
T 2
至少有两组以上的数k1，k2，，kr， 使得等式()成立。 向量组1，2，，r线性无关： 只 存 在 唯 一 的 一 组 数k1，k2，，kr， 使 得 等 式()成 立 ， 即k1 k2 kr 0
① 对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关．
② 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． ③ 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量．
A
a21
a22
am1
am1
a1n
a2n
amn
按行分块
A
1T
T 2
T m
ｍ个ｎ维行向量.
按列分块
A 1 2
n
其第ｉ个行向量记作
iT ai1 ai2
ain
ｎ个ｍ维列向量.
a1 j
其第ｊ个列向量记作
j
a2 j
amj
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
线性无关（Linear Independent）.
进一步来理解向量组的线性相关与线性无关
考虑等式 k11 k22 krr 0 () 无 论 向 量 组1， 2，， r 是 线 性 相 关 还 是 线 性 无关 ，
当k1 k2 kr 0时，等式()总成立。 向 量 组1，2，，r线 性 相 关 ：
B : 1,2 , ,r , 线性相关，则α可由Ａ唯一线性表示.
证 设 k11 k22 krr k 0 ∵Ａ线性无关，
而B线性相关，即k1, k2,, kr , k不全为零，
∴ｋ≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）
即有 k11 k22 krr k
k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
∴α可由Ａ线性表示.
二、向量的运算
1、加法 a1 a2
an , b1 b2
bn ,
规定 a1 b1 a2 b2
an bn
称为α与β的和向量.
( ) a1 b1 a2 b2
称为α与β的差向量.
an bn
2、数乘 a1 a2
an ,k R
规定 k k ka1 ka2
有解.
xm
定义Ⅲ 设两向量组 A : 1,2 , ,r，B : 1, 2 , , s . 若向量组Ａ中每一个向量皆可由向量组Ｂ线性表示，
则称向量组Ａ可以由向量组Ｂ线性表示.
即存在矩阵 K sr , Ar Bs K sr .
若两个向量组可以互相线性表示，则称这两向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性.
即 Ax b
或 1 2
x1
n
x2
b
xn
方程组与增广矩阵(A b)的列向量组之间一一对应．
五、向量空间
1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足 ①对加法封闭 if V , V V; ②对数乘封闭 if V , R V . 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）． 例３全体ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作 Rn.
O 0 .or. O .or. 0.and. O
三、应用举例
例１
设ｎ维向量
1 2
0
0
1 2
，矩阵
A E T , B E 2 T ，其中Ｅ为设ｎ阶单位阵，
证明：AB E.
证明： AB (E T )(E 2T )
E T 2T 2(T ) (T )
E T 2T (T )
有 x1 x2 1 2 1 2 V
k R, kx1 k1 k1 V
所以V 是一个向量空间.
定义 由向量组 1,2 , ,r 的一切线性组合构成的集合 称为由1,2 , ,r 生成的向量空间，记为：
L 1,2, ,r x k11 k22 krr ki R
注 等价向量组生成相同的向量空间.
④ 一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．
⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量 组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何 一个部分组都线性无关．
⑥ 两向量线性相关两向量对应成比例 ⑦ 两向量线性无关两向量不对应成比例 ⑧ 几何上：两向量线性相关两向量共线；
三向量线性相关三向量共面.
③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示．
④ 任一ｎ维向量 a1 a2
an 都是单位向量组
1 1 0
0，2 0 1
0， ，
Байду номын сангаасn 0 0
1，
的一个线性组合．事实上，有 a11 a2 2 an n .
⑤ 向量β可由 A : 1,2 , ,m 线性表示，
即方程组 1 2
x1
m
x2
二、线性相关性的判断准则
定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解； 定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 aij 0.
推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 aij 0.
定理 向量组线性无关其中任何一个向量都不能由
其余向量线性表示．
定理 向量组线性相关其中至少有一个向量可由其
第三章 向量与向量空间
一、ｎ维向量（Vector）
１、引入
确定小鸟的飞行状态，
需要以下若干个参数：
小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ
鸟翼的转角ψ
鸟翼的振动频率ｔ
小鸟身体的水平转角θ
小鸟重心在空间的位置参数 P( x, y, z)
还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组
m t x y z
余向量线性表示．
证 设1，2，，r线性相关，则不全为零的数k1, k2 ,
, kr k11 kii krr 0 不妨设ki 0 k11 ki1 i1 ki1 i1 krr kii
i
k1 ki
1
ki 1 ki
i 1
ki1 ki
i1
kr ki
r
得证
定理 如果向量组 A 1,2 , ,r 线性无关，而向量组
２、定义 ｎ个数 a1,a2 , ,an 组成的有序数组
a1 a2
an
称为一个ｎ维向量，其中 ai 称为第 i 个分量（坐标）. ｎ维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，
一般记作 T , T , T .
如： T a1 a2
（Row Vector）
an
ｎ维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，
定义Ⅳ 设ｎ维向量组 A : 1,2 , ,r ，如果存在不全
为零的数k1，k2， , kr ，使得 k11 k22 krr 0, 则称向量组 A : 1,2 , ,r 线性相关（Linear Dependent）.
反之，若当且仅当 k1= k2= kr 0 ，才有
k11 k22 krr 0, 则称向量组 A : 1,2 , ,r
一般记作α,β,γ.
如：
a1
a2
an
（Column Vector）
注意 １、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； ２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算； ３、当没有明确说明时，都当作实的列向量. ３、几种特殊向量 1、元素是实数的向量称为实向量（Real Vector）.