示．若向量组(3-3)与(3-4)可互相线性表示，则称向量组(3-3)与向量组(3-4)等价．记作向量组
(3-3) 向量组(3-4)，即
{1,2,,m} {1, 2,, n}．
向量组的等价具有以下三个性质：
(1) 反身性：任一向量组与它自身等价．即{1,2,,m} {1,2,,m}． (2) 对称性：若{1,2,,m} {1, 2,, n}，则{1, 2,, n} {1,2,,m}． (3) 传递性：若 {1,2,,m} {1, 2,, n} ，且 {1, 2,, n} {1, 2,, s} ，则 {1,2,,m} {1, 2,, s}．
§3.1 n 维向量及其运算
3.1.1 n 维向量的概念
定义 3.1.1 n 个数 a1, a2 ,, an 所组成的一个有序数组 （ a1, a2 ,, an ）称为一个 n 维 向量．其中第 i 个数 ai 称为向量 的第 i 个分量（ i 1,2,, n ）．
有时也把 n 维向量写成
a1
(3) o ，
(4) () o ，
(5) 1 ,
(6) (kl) k(l) ，
(7) k( ) k k ，
(8) (k l) k l ．
并且还可推出： 0 k o o ， (1) ， ．
例 3.1.1 证明： k o k 0或 o ．
3.1.2 向量的线性运算
84
定义 3.1.3 设向量 (a1, a2 ,, an ) ， (b1,b2 ,bn ) ， k 是一个实数，则规定 (a1 b1,a2 b2 ,,an bn ) ， k (ka1,ka2 ,,kan ) ，
分别称为向量的加法以及数与向量的乘法（简称数乘运算）．
，
(3-5)
m
n
a11 a12 a1n
其中
A
a21
a22
a2
n
．
am1
am2
amn
又由于{1, 2,, n} {1, 2,, s}，同上可设
1 1
2
B
2
，
n
s
(3-6)
其中 B 为 n s 矩阵．将(3-6)式代入(3-5)式，即得
1
1
2
(
AB)
2
1．线性组合
定义 3.2.1 设 ,1,2 ,,n 是一组 m 维向量．如果存在数 k1, k2 ,, kn ，使关系式 k11 k22 knn
成立，则称 是向量组1,2 ,,n 的线性组合，或称 可由向量组1,2 ,,n 线性表示（或
线性表出），称 k1, k2 ,, kn 为一组组合系数． 例如，设1 (1,1,2) ，2 (2,2,1) ， (4,0,5) ，易验证 21 2 ，
3．设, , 为任意的 n 维向量，证明： ．
§3.2 向量间的线性关系
3.2.1 向量的线性组合
考虑线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a2 1x1a22x2a2n xn b2 ， am1x1 am2 x2 amn xn bm
(3-1)
这是因为
i 01 0i1 1i 0i1 0 n ．
例 3.2.3 任 一 n 维 向 量 (a1,a2 ,,an ) 都 可 由 n 维 向 量 组 1 (1,0,,0) ，
2 (0,1,,0) ，, n (0,0,,1) 线性表示．
这是因为
a11 a2 2 an n ， 而且其组合系数正好就是 的各分量．称1, 2 ,, n 为 n 维单位向量组(或 n 维基本单位向
量组)．
例 3.2.4 设 (3,2,4) ，又1 (1,0,1) ，2 (2,1,0) ，3 (1,1,2) ．试判断 是否
为1,2 ,3 的线性组合．
解 设 k11 k22 k33 ，即
(3,2,4) k1(1,0,1) k2 (2,1,0) k3 (1,1,2) ． 此等式两边取转置即得
习题 3-1
1．已知1 (1,2,3) ，2 (3,2,1) ，3 (2,0,2) ，4 (1,2,4) ，求 31 22 53 44 ．
85
2．设1 (2,5,1,3) ，2 (1,0,1,0) ，3 (0,1,1,1) ，且 3(1 x) 2(2 3x) 2(3 x) ． 求向量 x ．
满足
k11 k22 knn o ；
(3-8)
而 如 果 方 程 组 (3-7) 只 有 零 解 ， 则 说 明 仅 存 在 一 组 k1 k2 kn 0 满 足
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k11 k22 knn o ．反之亦然．向量组1,2,,n 的这种关系也与方程组的解密切相 关．
1．线性相关与线性无关
根据向量线性运算和向量相等的定义，该线性方程组可以写成：
a11
a12
a1n b1
x1
a21
x2
a22
xn
a2n
b2
，
am1
am2
amn
bm
若设 j (a1j , a2 j ,, amj )T , j 1,2,, n ， (b1,b2 ,,bm )T ，则该方程组的向量形式为：
从这个例子可以看出，判断向量 是否为向量组1,2 ,,n 的线性组合，可以归结为判 断一个线性方程组是否有解，且这个线性方程组的解就是其组合系数，这揭示了向量间的线
性关系同线性方程组的解之间的紧密联系．当然，对于一般线性方程组如何判断其是否有解
及如何求它的解，将在下一章详细讨论．
例 3.2.5 判断向量 (1,0,1) 是否是向量组1 (1,0,2),2 (1,2,0) 的线性组合？ 解 由上例可知，此即判断方程组
a
2
．
a
n
为了区别起见，前者常称为 n 维行向量，后者称为 n 维列向量．
显然，行向量和列向量就是第 2 章§2.1 给出的行矩阵和列矩阵，因此向量的运算服从
矩阵相应的运算规律．
不管是行向量还是列向量，今后一般均称为向量，并常用希腊字母 、 、 、来表示，
而其分量常用小写拉丁字母 a,b,c,来表示．
x11 x22 xnn ，
(3-2)
这时，方程组(3-1)是否有解的问题即转化为向量组 ,1,2 ,,n 的问题，即:是否存在
一组数 x1 k1, x2 k2 ,, xn kn 满足 k11 k22 knn ？如果存在，则方程组(3-1)
有解，否则无解．下面就来讨论向量间的这一关系，为此我们引入线性组合的概念．
分量全为零的向量称为零向量，记为 o .
将 的 每 个 分 量 都 变 号 得 到 的 向 量 ， 称 为 的 负 向 量 ， 记 为 ， 即 (a1,a2 ,,an ) ．
定义 3.1.2 设有两个 n 维向量 (a1,a2 ,,an ) ， (b1,b2 ,bn ) ，如果它们的对应 分量相等，则称向量 与 相等，记为 ．
定义 3.2.3 设1,2 ,,n 为 n 个 m 维向量．如果存在一组不全为零的数 k1, k2 ,, kn 使得
k11 k22 knn o 成立，则称向量组1,2 ,,n 线性相关，而称 k1, k2 ,, kn 为一组相关系数；否则，称向量组 1,2 ,,n 线性无关．
注 3.2.1 对任何 m 维向量组1,2 ,,n ，总有 01 02 0n o 成立，问题在于， 是否存在不全为 0 的数 k1, k2 ,, kn 使等式 k11 k22 knn o 成立．若存在，1,2 ,,n 线性相关；若不存在，1,2 ,,n 线性无关．如果由 k11 k22 knn o 仅仅可以推出 k1 k2 kn 0 ，那么1,2 ,,n 线性无关．
因此, 是1,2 的线性组合．
86
例 3.2.１ 零向量可以由任意向量组线性表示．
事实上，设1,2 ,,n 为任一个向量组，显然有 o 01 02 0n 成立，即 o 可以
由1,2 ,,n 线性表示．
例 3.2. 2
向量组1
,
2
,,
n
中的任一向量
（
i
i
1,2,,
n
）都可由该向量组线性表示．
由向量的加法和负向量的定义，可定义向量的减法，即
( ) (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) ．
向量的加法与数乘运算，称为向量的线性运算．
设 , , 为任意的 n 维向量， k,l 为任意实数，则 n 维向量的线性运算满足以下运算规
律：
(1) ，
(2) ( ) ( ) ，
证 设 k o ，若 k 0 ，则结论成立．
若 k 0 ，则有 1 (k ) 1 o ， (1 k) o ，1 o ， 即 o ．
k
kk
反之，若 k 0或 o ，则显然有 k o ．
例 3.1.2 已知1 (2,5,1,3) ，2 (10,1,5,10) ，3 (4,1,1,1) ．求满足等式 3(1 x) 2(2 x) 5(3 x) 的向量 x ．
1 2 1 3
k1 0
k
2
1
k3
1
2
，
1 0 2 4
此即线性方程组
k1
2k2 k3 3 k2 k3 2
．
k1
2k3 4
是 否 为 1,2 ,3 的 线 性 组 合 ， 取 决 于 该 方 程 组 是 否 有 解 ， 易 知 该 方 程 组 的 解 为 k1 2, k2 1, k3 3 ，则 21 2 33 ，故 是1,2 ,3 的线性组合．
第 3 章 n 维向量
本章将介绍 n 维向量的概念及其线性运算，讨论向量的线性关系，即向量的线性组合、
向量组的线性相关与线性无关；进一步讨论向量组的极大无关组、向量组的秩． 通过本章的学习，学生应掌握利用向量的线性组合、线性相关与线性无关的定义、有
关性质及判别法讨论向量的线性表示、向量组Байду номын сангаас线性相关与线性无关；熟练掌握求向量组的 极大无关组及向量组的秩的方法．