通信原理 例题【例1-1】 某数字通信系统用正弦载波的四个相位0、2π、π、23π来传输信息，这四个相位是互相独立的。

(1) 每秒钟内0、2π、π、23π出现的次数分别为500、125、125、250，求此通信系统的码速率和信息速率；(2) 每秒钟内这四个相位出现的次数都为250，求此通信系统的码速率和信息速率。

解： (1) 每秒钟传输1000个相位，即每秒钟传输1000个符号，故R B =1000 Bd每个符号出现的概率分别为P(0)=21,P ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π=81,P(π)=81,P ⎪⎭⎫ ⎝⎛23π=41，每个符号所含的平均信息量为H (X )=(21×1+82×3+41×2)bit/符号=143bit/符号 信息速率R b =(1000×143)bit/s=1750 bit/s(2) 每秒钟传输的相位数仍为1000，故R B =1000 Bd此时四个符号出现的概率相等，故H (X )=2 bit/符号R b =(1000×2)bit/s=2000 bit/s【例1-2】已知等概独立的二进制数字信号的信息速率为2400 bit/s 。

(1) 求此信号的码速率和码元宽度；(2) 将此信号变为四进制信号，求此四进制信号的码速率、码元宽度和信息速率。

解：(1)R B =R b /log 2M =(2400/log 22)Bd=2400 BdT =B R 1=24001 s=0.42 ms (2)R B =(2400/log 24)Bd=1200 BdT=B R 1=12001 s=0.83 ms R b =2400 b/s【例4-1】 黑白电视图像每帧含有3×105个像素，每个像素有16个等概出现的亮度等级。

要求每秒钟传输30帧图像。

若信道输出S/N=30 dB ，计算传输该黑白电视图像所要求的信道的最小带宽。

解 每个像素携带的平均信息量为H(x)=(log 216) bit/符号=4 bit/符号一帧图像的平均信息量为I=(4×3×105) bit=12×105bit每秒钟传输30帧图像时的信息速率为R b =(12×105×30) bit/s=36 Mbit/s 令R b =C=Blog 2（1+NS ） 得 B=MHz MHz NS R b61.31001log 36)1(log 22==+即传输该黑白电视图像所要求的最小带宽为3.61 MHz 。

【例4-2】 设数字信号的每比特信号能量为E b ，信道噪声的双边功率谱密度为n 0/2，试证明：信道无差错传输的信噪比E b /n 0的最小值为-1.6 dB 。

证 信号功率为 S=E b R b 噪声功率为 N=n 0B 令C=R b ，得)1(log )1(log 022BC n E B N SB C b ⋅+=+= 由此得BC n E BCb /120-==min 0n E b 0lim →B C =-BC B C 120lim→BC 693.02ln 12ln 2==-B C 6.1)693.0lg 10(lg10min-==dB n E b dB【例6-1】已知信息代码为1010000011000011，试确定相应的传号差分码、CMI码、数字双相码、AMI码以及HDB3码，并分别画出它们的波形。

解：【例6-2】有4个连1和4个连0交替出现的序列，画出单极性非归零码、AMI码、HDB3码所对应的波形图。

思路单极性非归零码、AMI码的编码规律比较简单。

对HDB3码的编码规律比较熟悉后即可直接由信息代码求出HDB3码，并进而画出波形图。

由于序列中4个连1和4个连0是交替出现的，故相邻的4个连0码组之间1码的个数肯定是偶数个，因此HDB3码中的每个取代节都应是B00V。

解：单极性非归零码、AMI码、HDB3码及其波形图如下图所示。

【例6-3】 设随机二进制序列中的1码出现的概率为0.5，对应一个振幅等于1、宽度等于码元间隔T s 的矩形脉冲，0码对应0电平。

(1) 求其功率谱密度及功率，并画出功率谱曲线，求谱零点带宽；(2) 若1码对应一个占空比等于0.5的矩形脉冲，0码仍为0电平，重新回答(1)中的问题；(3) 能否从上述两个信号中用滤波法直接提取码元同步所需的频率f s =1/T s 的分量?若能，给出该分量的功率；(4) 分析离散谱f s 的功率与1码概率P 的关系。

思路 第一个信号为单极性非归零码，第二个信号为占空比等于0.5的单极性归零码，它们的基本波形为D T s(t)和D 0.5T s(t)。

这两个信号都是相同波形随机序列，可用式(6-3)求其功率谱。

若功率谱中含有f s =1/T s 的离散谱，则可用滤波法直接提取频率为f s =1/T s 的位定时信号，否则不能。

P s (f)=f s P(1-P)(a 1-a 2)2G 2(f)+f 2s∑∞-∞=n |Pa 1+(1-P)a 2|2G 2(mf s )δ(f-mf s ) (6-3)傅氏变换对D τ(t)←→τSa )2(ωτ=τ2/2/sin ωτωτ是本课程中常用公式，此题中τ=T s 或τ=0.5T s 。

解: (1) P=0.5,a 1=1,a 2=0G(f)=T s Sa(πfT s )=T s Sa(πf/f s )代入式(6-3)得P s (f)=f s ×0.5×0.5×T 2s Sa 2(πf/f s )+f2s∑∞-∞=m 0.52×T 2s Sa 2(m πf s /f s )δ(f-mf s )=0.25T s Sa 2(πf/f s )+0.25∑∞-∞=m Sa 2(m π)δ(f-mf s )由于 sin(m π)=0 所以 Sa(m π)=0故 P s (f)=0.25T s Sa 2(πf/f s )功率谱密度曲线如下图所示。

由图可知，谱零点带宽为B s =f s 。

信号功率为S=⎰∞-∞P s(f)df=0.25 ⎰∞-∞T sSa 2(πf/f s)df=0.25f s⎰∞-∞T 2s Sa 2(πf/f s )df根据帕塞瓦尔定理⎰∞-∞T 2s Sa 2(πf/f s )df=⎰∞-∞|G(f)|2df=⎰∞-∞D 2T s (t)dt=T 2s得 S=0.25f s ·T s 2=0.25T s (2) P=0.5G(f)=0.5T s Sa(0.5πfT s )=0.5T s Sa(0.5πf/f s )P s (f)=0.0625T s Sa 2(0.5πf/f s )+0.06252Sa m ∑∞-∞=(0.5m π)δ(f-mf s )功率谱密度曲线如下图所示。

由图可知，谱零点带宽为B s =2f s 。

信号功率为 S=0.0625⎰∞-∞T sSa 2(0.5πf/f s)df+0.0625 ⎰∞-∞∑∞-∞=m Sa 2(0.5m π)δ(f-mf s )df=0.0625f s⎰∞-∞T 2s Sa 2(0.5πf/f s )df+0.0625∑∞-∞=m Sa 2(0.5m π)=0.0625T s+0.0625∑∞-∞=m Sa 2(0.5m π)(3) 在(1)中无频率等于f s 的离散谱，在(2)中有频率等于f s 的离散谱，故可以从(2)中用滤波法提取码元同步信号(即位同步信号)。

频率为f s 离散谱的功率为S=2×0.0625Sa 2(0.5π)=(0.125sin 2(0.5π)/(0.5π)2W=0.05 W(4) 在第2个信号中有离散谱f s ，若P 为任意值，则此信号的离散谱为0.25∑∞-∞=m P 2Sa 2(0.5m π)δ(f-mf s )频率为f s 的离散谱功率为S=(0.5P 2sin 2(0.5π)/(0.5π)2) W=0.2P 2W小结 以矩形脉冲为基本波形的二进制相同波形随机序列的谱零点带宽等于脉冲宽度的倒数，占空比为1时，谱零点带宽在数值上等于码速率；单极性归零码中含有频率等于码速率的离散谱，离散谱的功率随1码的概率增大而增大(设1码传送脉冲)。

上述结论也可以推广到各码元独立的M 进制相同波形随机序列。

【例6-4】 设某二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，如右图所示。

图中T s 为码元间隔，数字信息“1”“0”分别用g(t)的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等。

(1) 求该数字基带信号的功率谱密度；(2) 能否用滤波法从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率f s =1/T s 的分量?若能，试计算该分量的功率。

思路 将底部宽度为τ、高度为1的三角形时域函数表示为Δτ(t)，傅氏变换对为Δτ(t)←→22]4/4/sin [2)]4([2ωτωττωττ=Sa 据此式可求得本题中g(t)所对应的G(f)，再由式(5-3)即可求解。

P s (f)=f s P(1-P)(a 1-a 2)2G 2(f)+f2s∑∞-∞=n |Pa 1+(1-P)a 2|2G 2(mf s )δ(f-mf s ) (5-3)解： (1)P=0.5,a 1=1,a 2=0 G(f)=)2(22ss fT Sa AT π P s (f)=f s P(1-P)(a 1-a 2)2G 2(f)+f 2s∑∞-∞=m |Pa 1+(1-P)a 2|2G 2(mf s )δ(f-mf s )=4s f ·)2(4422s s fT Sa T A π+)2(444222ss m s fT Sa T A f π∑∞-∞=δ(f-mf s ) )()2(16)2(164242s m s s mf f m Sa A fT Sa T A -+=∑∞-∞=δππ (2) 频率f s =1/T s 离散谱分量为0)(2)()2(84242≠-=-s s f f A f f Sa A δπδπ 所以可以用滤波法从该数字基带信号中提取码元同步所需要的频率f s =1/T s 的分量，该分量的功率为S=2A 2/π4=0.02A2【例6-6】 设某基带传输系统具有右图所示的三角形传输函数： (1) 当R B =ω0/π时，用奈奎斯特准则验证该系统能否实现无码间串扰传输?(2) 求该系统接收滤波器输出基本脉冲的时间表达式，并用此来说明(1)中的结论。

思路 因R B =ω0/π，即R B =2f 0，无码间串扰频域条件如下式∑∞-∞=n H(ω+n ωs )=⎪⎩⎪⎨⎧≤其他,02||,s C ωω (5-5)或∑∞-∞=n H(ω+n ωs )=C,ω为任意值 (5-6)对于此题给定的条件，有02ωω=s根据傅氏变换的对称性，可得ΔΩ(ω)←→22]4/4/sin [4)]4([4t t t Sa ΩΩΩ=ΩΩππ 由此式可求得本题所给系统的接收滤波器输出基本脉冲时间表达式，再根据码速率决定抽样时刻，从而决定有无码间串扰。