D
（4）若 f ( x, y) 在 D 上可积, 则 f ( x, y ) 在 D 上也可积, 且
f ( x, y) dxdy
D D
f ( x, y ) dxdy
（5）估值定理: 若可积函数 f ( x, y) 在 D 上满足 m f ( x, y ) M , 则
mS D f ( x, y)dxdy MS D
i
（2）任取 i xi 1 , xi ；
n
（3）作和式 S n f ( i )xi ；
i 1 n
（4）若极限 lim S n lim f ( i )xi 存在；
0 0
i 1
（5） 极限值与区间 [ a, b] 分割的任意性和 i xi 1 , xi 取值的任意性无关, 则称函数 f ( x )
n
在区间 [ a, b] 上可积, 该极限值 lim S n lim f ( i )xi 称为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的
0 0
i 1
定积分，记作
b n

a
f ( x )dx lim f ( i ) xi
0
i 1
例：设 D 2 为有界闭集，二元函数 z f ( x, y ),( x, y ) D 为定义在集合 D 上的 有界函数 （不仿假设 f ( x, y) 0,( x, y ) D ） 。 求以平面 z 0 为底， 曲面 z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体 ( x, y, z ) 0 z f ( x, y), ( x, y ) D 的体积（如下图）
其中 S D 为 D 区域的面积。进一步, 若函数 g ( x, y ) 在 D 上非负可积, 则
m g ( x, y )dxdy f ( x, y ) g ( x, y )dxdy M g ( x, y )dxdy
D D D
（6） 中值定理: 若函数 f ( x, y) 在 D 上连续, g ( x, y ) 在 D 上取定号且可积, 则
第 1 节课
二重积分引入
定积分的定义 设函数 f ( x ) 在有界闭区间 [ a, b] 上有定义, 且有界，若： （1）任意分割区间 [ a, b] ：取点列 x0 , x1 , , xn ：
a x0 x1 xn b
记 xi xi xi 1 , max xi ；
解：为了求曲顶柱体的体积，我们做下列几个过程: （1）分割 T ：将 D 分成 n 个小区域 Di (i 1, 2, , n) ，记 i (i 1, 2, , n) 为 小区域 Di 的面积， diam(Di ) max 为小区域 Di 的直径，
T max diam( D1 ), diam( D2 ), , diam( Dn )
D D
D
其中 S D dxdy 为 D 区域的面积.
D
（7）若 D 区域关于 x 轴对称, 可积函数 f ( x, y) 满足 f ( x, y ) f ( x, y ) , 则
f ( x, y)dxdt 0
D
若 D 区域关于 x 轴对称, 可积函数 f ( x, y) 满足 f ( x, y ) f ( x, y ) , 则
i i i 1
i
称为函数 f ( x, y) 在区间 D 上的二重积分, 记作
n

Dபைடு நூலகம்
f ( x, y )d lim
n
f ( , )
i i i 1
i
D 称为积分区域, f ( x, y) 称为被积函数, x, y 称为积分中间变量, 面积元素 d 又
记作 dxdy . 二重积分的值与积分中间变量的符号无关：
D
D
n
f ( , )
i i i 1
i
称为 Riemann 和；
n
（4）求极限: lim f (i ,i ) i ;
T 0 i 1
（5） 验证上述 Riemann 和的极限值与分割的任意性和取点的任意性无关。
此时，该极限值就是曲顶柱体 ( x, y, z ) 0 z f ( x, y ), ( x, y) D 的体积，
f ( x, y)dxdt 2 f ( x, y)dxdy
D D1
第 4 节课
D
关于二重积分性质的例题
例：估计 ( y 3 x 2 y 2 )dxdy 的大小，其中 D {( x, y ) x 2 y 2 2 } 。 解： y 3 dxdy 0 ， 0 x 2 y 2 2 ，故 0 ( y 3 x 2 y 2 )dxdy 2
X , X Di
X X
称为分割的模； （2）取点：任取 (i ,i ) Di , i 1, 2, , n ； （3）求 Riemann 和：小曲顶柱体 ( x, y, z ) 0 z f ( x, y ),( x, y ) Di 的体 积可以近似表示为 f (i ,i ) i ，其和
i
存在；
（5）极限值与区域 D 分割的任意性和点 ( i , i ) Di , i 1, , n, 选值的任意 性 无 关 ,
n
则 称 函 数 f ( x, y ) 在 区 域 D 上 可 积 ,
n
该 极 限 值
lim S n lim
n
f ( , )
n
V lim f (i ,i ) i
T 0 i 1
第 2 节课
二重积分的定义
二重积分定义
设函数 f ( x, y) 在有界闭区域 D R 2 上有定义, 且有界, 若： （1）任意分割区域 D , 记 i sup X Y , max i ；
X ,Y Di
1i n
（2）任取 (i ,i ) Di , i 1,, n ；
n
（3）作和式 S n f ( i , i ) i , 其中 i 为 Di 的面积；
i 1 n
（4）若极限 lim S n lim
n
n
f ( , )
i i i 1
( , ) D ,使
f ( x, y) g ( x, y)dxdy f ( , ) g ( x, y)dxdy
D D
特别地, g ( x, y ) 1 时, ( , ) D 使
f ( x, y )dxdy f ( , ) dxdy f ( , )S
D D D
（3）保序性: 若可积函数 f ( x, y ) g ( x, y ), ( x, y ) D , 则
f ( x, y)dxdy g ( x, y)dxdy
D D
若可积函数 f ( x, y ) 0, ( x, y ) D , 则 f ( x, y )dxdy 0 .
D 1 D 2
f ( x, y )dxdy f ( x, y )dxdy f ( x, y)dxdy
D1 D2
（2）对被积函数满足线性性:
Af ( x, y) Bg ( x, y)dxdy A f ( x, y )dxdy B g ( x, y )dxdy
f ( x, y)dxdy f (u, v)dudv
D D
第 3 节课 二重积分性质
线性性，保序性，估值性，中值定理，对积分区域的可加性 （1） 对积分区域的可加性: 设 f ( x, y) 在区域 D1 和 D2 上可积, D1 D2 无内点, 则 f ( x, y) 在 D1 D2 上可积,且