上述公式中，
C：现在开始一期以后收到的现金流； g：每期的固定增长率 r：适当的贴现率
关于永续增长年金的计算公式有三点需要注意：
上述公式中的分子是现在起一期后的现金流，而不是目前的现 金流
贴现率r一定要大于固定增长率g，这样永续增长年金公式才会 有意义
假定现金流的收付是有规律的和确定的 通常的约定：假定现金流是在年末发生的(或者说是在期末发
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增长年金（Growing Annuity）
比如：由于企业的实际增长率变化或通货膨 胀等的原因，使得企业现金流随着时间而增 长情况
增长年金的现值可视为两个永续增长年金的 现值的差额
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增长年金（Growing Annuity）
增长年金现值的计算公式
PV
r
C g
1
1 (1
g r)
T
其中：
C：是指第一期末开始支付的数额； r：是指适当利率利率； g：是指每期的固定增长率 T：是指年金支付的持续期
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Growing Annuity：Example
斯图尔特·加贝尔（Stuart Gabriel）是一个二年级的 MBA学生，他得到了一份每年80,000美元薪金的工作。
递延年金（delayed annuity） 现金流收付产生在多期以后的年金
先付年金（annuity in advance） 与后付年金相对应：通常假定第一次年金收付发生在1期之后 年金的第一次支付发生在现在或者说是0期 教材P67例4－22
不定期年金（the infrequent annuity） 指年金的支付频率不确定，超过1年期
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0
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$100 $100 $100
1
2
3
PV $100 $1,250 .08
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…
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永续增长年金（Growing Perpetuity）
上述问题显然是个关于无穷级数的计算问题。
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永续增长年金（Growing Perpetuity）
C
C×(1+g) C ×(1+g)2
有些问题是关于几期以后开始的年金(或永续年金)的现值 的计算。同学们应学会结合贴现公式和年金(或永续年金) 公式来求解；
有时年金或永续年金可能是每两年或更多年时期发生一 次，而不是每1年1次。年金和永续年金的计算公式可以 轻易地解决这些问题；
在应用过程中，同学们还经常会碰到令两个年金的现值
相等来联合求解的问题。
增长年金（Growing annuity）
A stream of cash flows that grows at a constant rate for a fixed number of periods.
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永续年金（Perpetuity）
A constant stream of cash flows that lasts forever.
第4章 折现现金流量估价
李连军 博士 教授
Chapter Outline
4.1 单期投资的情形（One-Period Case） 4.2 多期投资的情形（Multi-period Case） 4.3 复利计息期数（Compounding Periods） 4.4 简化公式（Simplifications） 4.5 如何评估公司的价值 （What Is a Firm
陈安娜（Ann Chen）小姐得到一笔450美元的年金， 每两年支付一次，持续时间为20年。第一次支付是在第2期，
也就是两年以后，年利率为6％。该年金的现值为多少？
第一步，首先需确定两年期的利率： R＝(1＋6%)(1+6%)-1=12.36%
第二步，计算10年期的年金现值： PV=$450*[1/0.1236-1/0.1236(1+0.1236)10]=$2 505.57
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两笔年金的现值相等
哈罗德（Harold）和海伦·南希（Helen Nash）开始为他们刚出生的 女儿苏珊（Susan）进行大学教育存款，南希夫妇估计当他们的女儿上 大学时，每年的费用将达30,000美元，在以后几十年中年利率将为14％。 这样，他们现在要每年存多少钱才能够支付女儿四年大学期间的费用? 为了便于计算，我们假定苏珊今天出生，她父母将在她18岁生日那年 支付第1年的学费。在以后的17年中，他们每年都在苏珊生日那天存入
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本章小结
两个基本概念：现值与终值 利率一般是按照年计息的。 投资决策的基本方法是净现值法：
NPV
C0
C (1 r)
(1
C r)2
(1
C r
)
N
C0
N t 1
C (1 r)t
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本章小结
四个简化公式
永续年金 : PV C
r 永续增长年金 : PV
C
C
C
…
0
1
2
3
C
C
C
PV (1 r) (1 r)2 (1 r)3
The formula for the present value of a perpetuity is:
PV C r
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Perpetuity: Example
假如有一笔永续年金，以后每年要付给投资者100美元，如果相 关的利率水平为8％，那么该永续年金的现值为多少?
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Annuity: Example Ⅱ
马克·杨（Mark Young）赢得了一项州博彩大奖， 在以后20年中每年将得到50,000美元的
奖金，一年以后开始领取奖金。若年利率为8％， 这项奖项的真实价值是多少?
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关于年金计算中需要注意的地方
对于年金计算中现金流产生的时间差异：
C
PV
C r
r (1 r)T
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年金（Annuity）
PV
C r
1
1 (1 r)T
AT r
1 r
1
1
1 r
T
A PV C T r
年金现值系数
AT r
是在利率为r的情况下，T
年内每年获得1美元的年金
的现值
年金现值系数表
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课后作业
李某购房公积金贷款546000元，期限15年， 期 间 为 2009.8.6—2024.8.5 。 月 利 率 为 3.225‰。
1.假如每月等额本息还款，每月还款额为多 少？
2.假如第一月还款期为9月15日，那么第一个 月还款金额为多少？
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生的)；第0期表示现在，第1期表示从现在起1年末，依次类推
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永续增长年金
房东由房屋可得的现金流（房租）的现值为
PV 100000 $1666667 .11 .05
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年金（Annuity）
A constant stream of cash flows with a fixed maturity.
C
rg
年金 :
PV
C r
1
1 (1 r)T
增长年金 :
PV
r
C g
1
1 g (1 r)
T
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本章小结
在上述公式应用中需要注意的问题:
各个公式的分子是从现在起一期以后收到的现金流；
现实生活中的现金流分布常常是不规律的，为了避免大 量的笨拙计算，在本书和实际中常会假定现金流分布是 有规律的；
比如投资油画，其风险高，确定性的市场利 率假如是10%，投资油画的贴现率可能要求 为25%。
4.2 多期投资的情形
终值 FV = C0×(1 + r)T
C0 ：期初投资金额,
r ：利息率
T ：资金投资所持续的期数
现值 PV= CT/(1 + r)T
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4.3 复利计息期数
年期终值：
FV
C0
1
r m
m
r:名义年利率，m: 一年复利计息次数
实际年利率：
1
r
m
1
m
实际年利率
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多年期复利
FV
C0
1
r m
mT
连续复利
FV = C0×erT
C0是初始的投资，r是名义利率，T是投资所 持续的年限；e是一个常数，其值约为2.718
…
0
1
2
3
PV
C (1 r)
C (1 g) (1 r)2
C (1 g)2 (1 r)3
The formula for the present value of a growing perpetuity is:
PV C rg
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永续增长年金（Growing Perpetuity）
连续复利
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