结论 5.9 [内部稳定性和外部稳定性关系]：
如果线性定常系统为联合完全能控和完全能观测的，则 系统内部稳定当且仅当系统外部稳定。
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的 一些基本概念
➢ 李亚普诺夫第一方法和第二方法
➢ 自由系统、平衡点和受扰运动 ➢ 李亚普诺夫意义下的稳定 ➢ 渐近稳定 ➢ 不稳定
t
t
t0 hi1(t, )u1( )d t0 hip (t, )u p ( )d
且有限个有界函数之和仍为有界，基此，利用SISO 情形，可证得此结论。
结论 5.2 [ 定常系统 ]
x Ax Bu y Cx Du x(0) 0
对于零初始条件的线性定常系统，令初始时刻 t0 0 ， H (t) 为其脉冲响应矩阵， G(s) 为其传递函数矩阵，
t
结论5.6 [线性定常系统]
线性定常(自由)系统内部稳定(渐近稳定)的充分必要条件是 矩阵 A 的所有特征值均具有负实部，即
Rei ( A) 0 , i 1, 2, , n
其中 n 为系统的维数。
对连续时间线性时 变系统不成立。
注: 当矩阵 A 给定后，则可导出其特征多项式
(s) det(sI A) sn n1sn1 1s 0
利用劳斯—霍尔维茨判据，直接由系数 i (i 0,1, ,n 1)
来判断系统的渐近稳定性。
➢内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论 5.7 [内部稳定性和外部稳定性关系]： 设线性定常系统是内部稳定的，则其必是 B I B O稳定。
证： 考虑系统 x Ax Bu，x(0) x0，t 0 y Cx Du
证明 ：分成两步来证明
首先，考虑 p q 1，即单输入—单输出的情况。
先证充分性 ：已知 t h(t, ) d k 成立， t0
且任意输入 u(t) 满足 u(t) k1 ,t t0 ,
那么利用由脉冲响应函数 h(t, ) 表示输出 y(t)
得
t
t
y(t) h(t, )u( )d h(t, ) u( ) d
第5章 系统运动的稳定性
5.1 外部稳定性和内部稳定性 5.2 李亚普诺夫意义下稳定的一些基本概念 5.3 李亚普诺夫第二方法的主要定理 5.4 连续时间线性系统的状态运动稳定判据 5.5 线性定常系统稳定自由运动衰减性能估计
5.1 外部稳定性和内部稳定性
➢ 外部稳定性 ➢ 内部稳定性 ➢ 内部稳定性和外部稳定性的关系
脉冲响应矩阵： H (t) CeAt B D (t).
因为系统内部稳定，必有：eAt有界且 lim eAt 0. t
因此，H (t)的所有元素满足
0 | hij (t) | dt k .
从而，系统BIBO稳定。
结论 5.8 [内部稳定性和外部稳定性关系]：
线性定常系统是 B I B O 稳定的（外部稳定），不能保证 系统是内部稳定即渐近稳定。
结论5.4 [时变系统内部稳定]
线性时变（自由）系统在t0时刻内部稳定 状态转移矩阵 (t,t0 )对所有时刻 t [t0, )有界，且
limt (t, t0 ) 0.
结论5.5 [定常系统内部稳定] 线性定常系统: x Ax Bu, x(0) x0 自由系统是内部稳定即渐近稳定 lim eAt 0
对于零初始条件的线性时变系统，表 H (t, )为其脉冲响
应矩阵，则系统为 B I B O 稳定的充分必要条件是，存在一
个有限正数 k ，使对于一切 t t0 , ，H (t, ) 的
所有 hij (t, ) (i 1, 2, , q; j 1, 2, , p)
均满足关系式：
t
t0 hij (t, ) d k
如果外输入 u(t) 0 ，由时刻t0任意非零初始状态 x0 引
起的零输入响应 x0u (t)
满足关系式：
lim
t
x0u
(t
)
0
则称系统在时刻 t0 是内部稳定的。
是自治系统状态 运动的稳定性。
注: 内部稳定等价于李亚普诺夫下渐近稳定。对连续时间线性 系统，可根据状态转移矩阵或系数矩阵来判别。
稳定性是系统的另一个重要特征。 系统运动稳定性的分析是控制理论的一个重要组成部分。
实际系统必须是稳定的。
外部稳定性 ：通过输入—输出关系来表征。
内部稳定性 ：基于状态空间描述，零输入下状态运动 的响应来表征。 满足一定的条件，内部稳定性和外部稳定性之间存在等价 关系。
➢ 外部稳定性
考虑一个因果系统，如果对应于任意有界的输入 u(t) ，
即满足条件：
u(t) k1 ,t t0,
的输入 u(t) ，所对应的输出 y(t) 均是有界的，即成立
y(t) k2 ,t t0,
则称此因果系统是外部稳定的，又称有界输入—有界输出 稳定，简称为 B I B O 稳定。
BIBO稳定判别准则 结论 5.1 [时变系统]
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u x(t0 ) 0
考察由它作用下所产生的输出 y(t)，易知
y(t1)
t1 t0
h(t1
,
)u
(
)d
t1 t0
h(t1, )
d
表明输出无界，与 B I B O 稳定相矛盾。
从而
t
h(t, ) d k ,
t0
t t0,
多输入—多输出情况
系统输出 y(t) 的分量 yi (t) 满足关系式
t
yi (t) t0 hi1(t, )u1( ) hip (t, )u p ( )d
则系统为 B I B O 稳定
存在一个有限正数 k ， 使 H (t) 的每一个元 hij (t)
0 hij (t ) dt k
G(s)（真或严格真） 的所有极点均具有负实部
➢ 内部稳定
对于线性时变系统
x A(t)x B(t)u y C(t)x D(t)u x(t0 ) x0
定义5.2 [内部稳定]
t0
t0
t
k1 t0 h(t, ) d k1k k2
由定义知：系统为 B I B O 稳定。
证必要性 ：采用反证法，已知系统B I B O 稳定
设存在某个 t
1,
u (t )
sgn
h(t1, t)
0,
1,
h(t1, t) 0 h(t1, t) 0 h(t1, t) 0