数学思想篇：一、整体思想
【思想指导】
整体思想，就是从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易．其主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用．【范例讲析】
一．数与式中的整体思想
例1.已知11
4
a b
-=，则
2
227
a a
b b
a b ab
--
-+
的值等于（）
A.6
B.6
- C.12
5
D.
2
7
-
例2．已知当1
x=时代数式
253
42
()
2
x ax bx cx
x dx
++
+
+
的值为3，则当1
x=-时，代数式的值为
二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想
例3．已知
241
22
x y k
x y k
+=+
⎧
⎨
+=+
⎩
，且03
x y
<+<，则k的取值范围是
例4．已知关于x，y的二元一次方程组
35
11
x ay
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解为
5
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，那么关于x，y的二元
一次方程组
3()()5
()11
x y a x y
x y b x y
+--=
⎧
⎨
++-=
⎩
的解为为
例5．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元．现在计划购甲、乙、丙各1件，共需多少元？
三．函数与图象中的整体思想
例6．已知y m
+和x n
-成正比例（其中m、n是常数）
（1）求证：y是x的一次函数；
（2）如果y=-15时，x=-1；x=7时，y=1，求这个函数的解析式.
例7．若关于x的一元二次方程2(21)20
x a x a
+-+-=有一根大于1，一根小于1-，求a的取值范围．
四．几何与图形中的整体思想
例8．如图，123456
∠+∠+∠+∠+∠+∠=
例9．如图，菱形ABCD的对角线长分别为3和4，P是对角线AC上任一点（点P不与A，C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积为．
例10．如图，在正方形ABCD中，E为BC边的中点，AE平分BAF
∠，试判断AF与BC CF
+
的大小关系，并说明理由．
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【优化训练】
1．已知式子3y 2
-2y+6的值为8，那么号
2
3y 2
-y+l 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2．计算(250+0.9+0.8+0.7)2 -（250-0.9-0.8-0.7）2之值为( ) A. 11. 52 B.23. 04 C.1200 D.2400
3．已知411=+b a ，则 b ab a b
ab a 323434-+-++的值为 ( )
A ．1019-
B ．1019 c ．-1910 D ．1910
4．已知a 2-3a+1=0，则441
a a
+的值为 ( )
A. 45
B. 46
C. 47
D. 48
5．如图，在梯形ABCD 中，MN 是梯形的中位线，E 是AD 上一点，若S △EMN =4， 则S 梯形ABCD= ( )
A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
6．已知a l ，a 2，…，a 2002均为正数，且满足M=（a l +a 2+…+a 2001）（a 2+a 3+---+a 2001-a 2002），N=（a l +a 2+- +a 200l -a 2002）（a 2 +a 3+…+a 2oo1），则M 与N 之间的关系是 ( )
A ．M>N
B ．M<N
C ．M-N
D ．无法确定．
7．已知6111=+b a ，9111=+c a ，15111=+c b ，则bc ac ab abc
++的值为 ( )
A ．18031
B ．31180 c ．9031 D ．3190
8．如图，在梯形ABCD 中,AD ∥BC,且AD ：BC=1：3，梯形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,S △AOD ：S △BOC ：S △AOB ( )
A. 1:3:1
B.1:9:1
C.1:9:3
D. 1:3:2
9．若31
=+x
x ，则242
1x x x ++的值是 ( ) A ．81 B ．101 c ．21 D ．4
1
10.甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往济南，这样两厂的产品就能占有
济南市场同类产品的43，然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品，乙厂仅有3
1
的产品销到了
济南，两厂的产品仅占了济南市场同类产品的3
1
，则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量
的比为 ( )
A ．3
B ． 31 c ．2
1
D ．2
11．如果a+b=5，那么(a+b)2 -4（a+b ）=____．
12．如果210x x +-=，则3223x x ++ =____．
13.当x=-3时，式子ax 5 +bx 3 +cx-5的值是7，那么当x=3时，此式子的值是 ．
14.方程组⎩⎨⎧=-+=-+65)(5
3)(2y y x y y x ，的解为 .
15．已知a=83 x-20,b=83x-18,c=8
3
x-16，则222a +b +c -ab-ac-bc= ．
16．已知a-b=b-c=5
3
，222a +b +c = 1，则ab+bc+ca 的值等于 ．
17.已知Rt △ABC 的两边a ，b 满足等式（a 2十b 2）2-（a 2+b 2）=6，a+b=2，那么这个直角三角形的斜边c 的长和面积分别____．
18．对于正数x ，规定，f(x)=x
x
+1，例如，f(3)=43313=+，f(31)=413
1131
=+,
计算+++++++-+-+)3()2()1()1()2
1
()31()21()11(
)1(f f f f f f n f n f n f )()1()2(n f n f n f +-+-+ =____．（n 为正整数）
19.关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是__________．。