0 1 0
0
, 0
, 0
,
其中，, ,, 为实数。这些标准形式是根据方程组（6.8）的
特征方程
a b
0
c d
即：
2 (a d ) ad bc 0
的根（称为特征根）的性质来决定的。
（6.11）
定理 如果二阶线性驻定方程组（6.8）的系数满足条件（6.9），则方程 的零解（奇点）将依特征方程（6.11）的根的性质而分别有如下的 不同特性：
1）如果特征方程的根 1 2 为实根，则 12 0 时奇点为结点
，且当 1 0 结点是稳定的，而对应的零解为渐进稳定的，但当
1 0 时奇点和对应的零解均为不稳定的；当 12 0 时奇点为鞍点 ，零解为不稳定的。
2）如果特征方程具有重根 , 则奇点通常为退化结点，但在
b c 0 的情形奇点为奇结点。又当 0 时，这两类结点均为
它在区间 t t0 h 上连续，而且
(t0;t0 , y0 ) y0
这里 h min(a, b ), M max g(t; y) .
M
(t , y)R
解的延拓与连续性定理
如果向量函数 g(t; y) 在某域 G 内连
续，且关于 y 满足局部里普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初始
条件 y(t0 ) y0 的解 y (t;t0 , y0 )((t0 , y0 ) G) 可以延拓，或者延拓
到 (或 - ); 或者使点 (t,(t;t0 , y0 )) 任意接近区域 G 的边界。
可微性定理
如果向量函数
g(t; y)
及
gi yi
(i,
j
1,2,
, n)
在域 G 内连续，那么方程组（6.1）由初始条件 y(t0 ) y0 确定
的解 y (t;t0, y0 ) 作为 t,t0 , y0的函数，在存在范围内是连续可微。
6.1 引言
z n阶微分方程： (n) g(t; z, z, , z(n1) )
做变换： y1 z, y2 z, , yn z(n1)
则n阶微分方程可以用一阶方程组
dy1
dt
y2
dy2 dt
y3
dyn1
dt
yn
dyn
dt
g(t; y1, y2 ,
, yn )
写成向量形式：dy g(t; y) dt
设给定方程组（6.1）的初始条件为 y(t0 ) y0
（6.1）
考虑包含点(t0 , y0 ) (t0; y10, , yn0 ) 的某区域 R :| t t0 | a, y y0
b
所谓 g(t; y0 ) 在域 G 上关于 y 局部满足利普希茨条件是指对于G 内任意点 (t0 , y0 ), 存在闭邻域 R G, 而 g(t; y0 ) 与 R 关于 y
dx
dt dy
dt
X (x, y) Y (x, y)
（6.7）
附注：在相平面，驻定方程组（6.7）的轨线不相交。
同时满足 X (x, y) 0,Y (x, y) 0 的点 (x*, y*), 称为驻定方程组
（6.7）的奇点，显然
x x*, y y*
是方程组的解。
方程（6.7）的另一形式：
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设 x(t;t0 , x0 ) 是系统(6.3)适合初值条件 x(t0 ) x0
的解
(1) 若 0, ( ) 0, 使得只要 x0 , 对一切
t t0 恒有
x(t;t0, x0) ,
则称系统(6.3)的零解 x 0 是稳定的。 (2) 若 1) x 0 是稳定的;
2) t 0, 1 0, 使得只要 x0 1, 就有
lim
t
x(t;
t0
,
x0
)
0,
则称系统(6.3)的零解x 0 是渐近稳定的; 区域 x x 1
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的。
6.3 相平面
现在讨论二阶微分方程组
dx dt
X
(t;
x;
y)
dy
dt
Y
(t;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx,
y)
它的解
x x(t), y y(t)
（6.5） （6.6）
如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间， 此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为 相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般 的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但 如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情 形，此时（6.5）式变成：
稳定的，而零解为渐近稳定的，但当 0 时奇点和对应的零解均
为不稳定的。 3）如果特征方程的根为共轭复根，即 1 2,1 0则当 Re 1 0 时
奇点为焦点，且当 Re 1 0 时焦点是稳定的，对应的零解为渐近稳 定的，而当 Re 1 0 时奇点和对应的解均为不稳定的；当 Re 1 0 时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的。
6.4 由线性近似系统判定稳定性
dx f (x), f : D Rn Rn, dt
为研究（6.1）的特解 y (t) 邻近的解的性态，通常先利用
变换:
x y (t)
把方程（6.1）化为：
dx f (t; x) dt
(6.28) （6.3）
其中
f (t, x) g(t; y) d(t)
dt
g(t; x (t)) g(t;(t))
此时显然有： f (t;0) 0
（6.4）
dx dx
ax
by
dy dt
cx
dy
（6.8）
显然，坐标原点 x 0, y 0 是奇点。如果方程组的系数满足条
件
ab
0
cd
则此奇点还是唯一的。
（6.9）
根据线性代数理论可以通过非奇异的实线性变换
k11x k12 y k21x k22 y
（6.10）
把线性方程组（6.8）化成标准形式，其系数为下列四种形式：
满足利普希茨条件，即存在常数 L 0, 使得不等式：
g(t; ~y) g(t; y) L ~y y
对所有 (t, ~y),(t, y) R 成立。
存在唯一性定理
如果向量函数 g(t; y) 在域 R上连续且关于
y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解 y (t;t0, y0 ),