信号与系统复习题1、描述某系统的微分方程为y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f (t)y(0_)=2，y ’(0_)= -1y(0_)= 1，y ’(0_)=0求系统的零输入响应。
求系统的冲击相应求系统的单位阶跃响应。
解：2、系统方程 y (k)+ 4y (k – 1) + 4y (k – 2) = f (k)已知初始条件y (0)=0，y (1)= – 1；激励kk f 2)(=，k ≥0。
求方程的解。
解：特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解y h(k )=(C 1k +C 2) (– 2)k特解为 y p(k )=P (2)k , k ≥0代入差分方程得 P (2)k +4P (2)k –1+4P (2)k –2= f (k ) = 2k ，解得 P =1/4所以得特解： y p(k )=2k –2 , k ≥0故全解为 y (k )= y h+y p = (C 1k +C 2) (– 2)k + 2k –2 , k ≥0代入初始条件解得 C 1=1 , C 2= – 1/43、系统方程为 y (k) + 3y (k –1) + 2y (k –2) = f (k)已知激励k k f 2)(=, k ≥0，初始状态y (–1)=0, y (–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
解：：（1）y zi(k )满足方程y zi(k ) + 3y zi(k –1)+ 2y zi(k –2)= 0y zi(–1)= y (–1)= 0, y zi(–2) = y (–2) = 1/2首先递推求出初始值y zi(0), y zi(1),y zi(k )= – 3y zi(k –1) –2y zi(k –2)y zi(0)= –3y zi(–1) –2y zi(–2)= –1y zi(1)= –3y zi(0) –2y zi(–1)=3特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2解为 y zi(k )=C zi1(– 1)k + C zi2(–2)k将初始值代入 并解得 C zi1=1 , C zi2= – 2y zi(k )=(– 1)k – 2(– 2)k , k ≥0（2）零状态响应y zs(k ) 满足：y zs(k ) + 3y zs(k –1) + 2y zs(k –2) = f (k )y zs(–1)= y zs(–2) = 0递推求初始值 y zs(0), y zs(1)，y zs(k ) = – 3y zs(k –1) – 2y zs(k –2) + 2k , k ≥0y zs(0) = – 3y zs(–1) – 2y zs(–2) + 1 = 1y zs(1) = – 3y zs(0) – 2y zs(–1) + 2 = – 1分别求出齐次解和特解，得y zs(k ) = C zs1(–1)k + C zs2(–2)k + y p(k )= C zs1(– 1)k + C zs2(– 2)k + (1/3)2k代入初始值求得C zs1= – 1/3 , C zs2=1y zs(k )= – (– 1)k /3+ (– 2)k + (1/3)2k ，k ≥04、系统的方程:()()()()()12213 -+=-+-+k f k f k y k y k y()()()()()0102==-=y y k k f k ε求系统的零输入响应。
解：5、已知单位阶跃函数的傅里叶变换：ωωπδεj t 1)()(+=←→求下面矩形脉冲 (门函数）的傅里叶变换，并画出其频谱图。
)2Sa()2sin(2)(j ωττωωτω==F解：6、求函数)()(t e t f t εα=，α >0的傅里叶变换，并画出其频谱图。
7、已知矩形脉冲()t g τ的傅里叶变换如为()⎪⎭⎫⎝⎛⋅=2j ωττωτSa G ，其中τ为脉冲宽度。
求信号()()()t t g t f 0cos ωτ=的傅里叶变换。
8、已知系统的微分方程为y ´(t) + 2y (t) = f (t)，求系统的频率响应函数)(ωj H 。
求)()(t e t f t ε-=时零状态响应y (t)。
解 ：由H (j w )的定义则有：则解的 9、如图电路，R =1Ω，C =1F ，以)(t u c 为输出，求冲击相应h (t)。
解：取Uc(t)为输出，则网络函数为H （s ）=Uo(s)/Ui （s ）=1/sc/R+1/sc=1/RC*1/S+1/RC S= —1/RC()[()]()j H j F h t h e d ωτωττ∞--∞==⎰)()(2)(3)()(2ωωωωωωj F j Y j Y j j Y j f f f =++)()()(ωωωj F j Y j H f =2)(3)(12++=ωωj j R e []s α>-则电路的冲击响应为：U （s ）=1/sc/R+1/sc=1/RC*1/S+1/RC若取Ic(t)为输出时，则网络函数为：H(s)=Ic(s)/Ui(s)=1/R+1/SC=1/R*S/S+1/RC电路的零输入响应：Us=Uc （0-）/S*Ｒ/Ｒ＋１/ＳＣ＝Ｕｃ（０—）/Ｓ＋１/ＲＣ10、求下面信号的单边拉氏变换)cos(t ω；)sin(t ω；)()sin(t t e t εωα-；)()cos(t t e t εωα-⎩⎨⎧≤≤=；其它；如果001)(τt t f 解：同理：11、描述某LTI 系统的微分方程为y "(t ) + 5y '(t ) + 6y (t ) = 2f '(t)+ 6 f (t)求系统函数H （s ）已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，求零输入响应求)()(t e t f t εα-=时系统的零状态响应解： 方程取拉氏变换：)0()0()(,2----y sy s Y s)]0()([5--+y s sY )(6s Y +()0220e cos ()t s t t s ααωεαω-+↔++Re[]s α>-00220sin()()t t s ωωεω↔+()00220e sin()()t t t s αωωεαω-↔++)(21sin jwt jwt e e jwt --=22]11[21][sin )(w s w jw s jw s j wt LT s F +=+--==)(21cos jwt jwt e e wt -+=22]11[21][cos )(w s s jw s jw s wt LT s F +=++-==][21)(21sin )()(t jw a t jw a jwt jwt at at e e j e e j e wt e +-------=-=22)(])(1)(1[21]sin [)(w a s w jw a s jw a s j wt e LT s F at ++=++--+==-0220cos()()s t t s ωεω↔+)(6)(2s F s sF +=整理得： 12F请画出系统在s 域的框图。
求系统函数H(s)。
求系统的冲击响应。
∑解：解 画出s 域框图，设最右边积分器输出为X(s)s2X(s) = F(s) – 3sX(s) – 2X(s) Y(s) = 4X(s) + s2X(s)微分方程为 y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = f "(t)+ 4f (t)方程取拉氏变换：整理得：Y （s ）=其中111+=s H ，211+=s H ，)()(3t t h ε=，)()(24t e t h t ε-= 求复合系统的冲击相应h(t)。
)(65)3(265)0(5)0(')0()(22s F s s s s s y y sy s Y ++++++++=---)(231)(2s F s s s X ++=)(23422s F s s s +++=116、已知某系统的差分方程为y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f (k)+2f (k – 2)已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f (k)= ε(k)。
求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。
解：方程取单边z 变换 ：Y (z)-[z-1Y (z)+y(-1)]-2[z-2Y (z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F (z)+2z-2F (z)得到：17、已知一个连续系统的信号流图如下写出系统输入输出对应的微分方程。
求系统函数写出系统的状态方程解：由图知其微分方程为：y "(t) + 3 y '(t) + 2y(t) = 2 f '(t) +8 f (t)由微分方程可得到：设状态变量x 1(t)、 x 2(t)，由后一个积分器，有：由前一个积分器，有：则系统输出端，有 y(t) =8 x 1+2 x 212224)(212121)2(2)1()21()(2222212211---++--+=--++---+-+=------z z z z z z z z z z F z z z z z y y z z Y )(])1()2(2[)(122)1)(2(4)(2k k y z z z z z z z z z Y k k zi zi ε--=→+-+-=+-+=)(]23)1(212[)(12312122)(1k k y z z z z z z z Y k k zs zs ε--+=→--++-=+23)4(2)(2+++=s s s s H 21x x = f x x x+--=21232。