线性代数教学教案第3章 向量与向量空间授课序号01 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容一． 维向量的概念1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量.2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算1．定义：（1）分量全为0的向量称为零向量；（2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等；（4）对于，，称为与的和；（5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为.2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有：n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---Tn a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---Tn n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）;（7）；（8）.三．例题讲解例1． 某工厂两天的产量(单位:吨)按照产品顺序用向量表示,第一天为第二天为求两天各产品的产量和.αββα+=+)()(γβαγβα++=++αα=+00-αα=αα=⋅1αα)()(kl l k =βαβαk k k +=+)((k l )αk αl α+=+1(15,20,17,8),=T α2(16,22,18,9),=T α授课序号02 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第2节 向量组的线性关系 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法教学难点 有关线性相关、线性无关的证明 参考教材 同济版《线性代数》作业布置 课后习题大纲要求 1．理解向量的线性组合与线性表示。

2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

教 学 基 本 内 容一．向量组的线性组合线性组合：给定向量组和向量，如果存在一组数，使，则称是的线性组合，或称可由线性表示，称为由线性表示的系数.二．向量组的等价1．线性表示与向量组的等价：设有两个向量组 (I): , (II):，若向量组(I)中每个向量都可由向量组(II)中的向量线性表示，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表示. 若两个向量可相互线性表示，则称它们等价.2．向量组等价的性质：(1) 反身性：每一个向量组都与其自身等价；(2) 对称性：若向量组(I)与(II)等价，则向量组(II)与(I)也等价；(3) 传递性：若向量组(I)与(II)等价，向量组(II)与(III)等价，则向量组(I)与(III)等价.3．向量组可由向量组线性表示的充要条件是矩阵方程有解.4．推论：若矩阵与矩阵列(行)等价，则矩阵的列(行)向量组与矩阵的列(行)向量组等价.5．行向量组可由行向量组线性表示的充要条件是方程有解.m ααα,,,21 βm k k k ,,,21 ,2211m m k k k αααβ+++= β12m α,α,,α β12m α,α,,α m k k k ,,,21 β12m α,α,,α 12,,,m ααα 12s β,β,,β s βββ,,,21 12,,,m ααα B AX =A B A B T s T T βββ,,,21 12T T T m α,α,,α B XA =三．线性组合的经济学应用举例在经济学中，需要将某个量，比如成本，分解成几部分时，常常需要用到线性组合的概念.例如，一个公司生产两种产品A 和B .设生产价值1万元的产品A 需要原料成本0.3万元,人工成本0.25万元,设备成本0.1万元，管理成本0.15万元,则可构造出产品A 的单位成本向量.同理,可构造出产品B 的单位成本向量，假设为.该公司生产价值万元的产品A 和生产价值万元的产品B 需要的总成本为.四．向量组线性相关性的定义1．线性相关与线性无关：给定维向量组，如果存在不全为零的数，使则称线性相关，若当且仅当全为零时，上述等式才成立，则称线性无关.2．若两个向量和线性相关，则存在不全为零的数，使不妨设，则有 3．两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.五．向量组线性相关性的性质1．一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量.推论：一个向量线性无关的充要条件是这个向量为非零向量.2．两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例.推论：两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例.3．个向量线性相关的充要条件是至少有一个向量可由其余个向量线性表示.推论：个向量线性无关的充要条件是任意向量都不能由其余个向量线性表示.4．若线性无关，而，线性相关，则可由线性表示，且表示式唯一.5．向量组中有一部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关.推论：若整个向量组线性无关，则其任一部分向量组都线性无关.6．设向量组(I) 与(II)，若(II)可由(I)线性表示，且则(II)(0.3,0.25,0.1,0.15)Tα=(0.25,0.35,0.1,0.1)T β=1x 2x 12+x x αβn 12,,,m ααα m k k k ,,,21 ,02211=+++m m k k k ααα 12,,,m ααα m k k k ,,,21 12,,,m ααα 1α2α21,k k .02211=+ααk k 01≠k 2121-k αα.k =)2(≥m m 1-m )2(≥m m 1-m 12,,,m ααα 12,,,m ααα ββ12,,,m ααα 12,,,m ααα s βββ,,,21 ,s m >sβββ,,,21线性相关.六．向量组线性相关性的判定1．定理：个维向量线性相关的充要条件是矩阵的秩. 推论1．任意个维向量线性无关的充要条件是它们构成的矩阵的秩.推论2．任意个维向量线性无关的充要条件是矩阵的行列式不等于零.推论3．当时，个维向量线性相关.2．定理：若个维向量线性无关，则对应的个维向量也线性无关.3．延长向量组：称个维向量添加个分量后得到的向量组为原向量组的延长向量组.推论：若一个向量组线性无关，则其延长向量组线性无关.七．例题讲解例1．设，，则，即零向量可由线性表示，更一般地，维零向量可由任意维向量组线性表示.例2．设维向量组则任意维向量可由线性表示.例3．向量组中任一向量都可由这个向量组线性表示.例4．将向量表示成向量组的线性组合. m n 12(,,,)(1,2,,)== T i i i ni a a a i m α()11121212221212,,,m m m n n nm a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()<r A m m n 12(,,,)(1,2,,)== T i i i ni a a a i m α⨯=n m A A ()()r A m m n =<n n 12(,,,)(1,2,,)== T i i i ni a a a i n αA >m n m n m s 12(,,,)(1,2,,)== T i i i si a a a i m αm 1+s 121,(,,,,)(1,2,,)+== T i i i si s i a a a a i m βm s 12(,,,)(1,2,,)== T i i i si a a a i m α-n s 121,1,(,,,,,,,)(1,2,,)+-== T i i i si s i n i ni a a a a a a i m γ12,,, m αααT )3,2,1(1=αT )6,4,2(2=αTT T )6,4,2(0)3,2,1(0)0,0,0(0⋅+⋅==21,ααn n n ,)0,,0,1(1T e =,,)0,,1,0(2 T e =,)1,,0,0(T n e =n T n a a a ),,,(21 =αn e e e ,,,21 ()115Tβ,,=-,)3,2,1(1T =α,)4,1,0(2T =αT )6,3,2(3=α例5．设均为阶矩阵，若，且可逆，则矩阵的列向量组与矩阵的列向量等价. 例6．证明：维基本单位向量组，线性无关. 例7．讨论向量组的线性相关性.例8．设线性无关，证明：线性无关.例9． 证明：含有零向量的向量组一定线性相关.例10．设向量组线性相关，向量组线性无关，证明(1)可由线性表示；(2)不可由线性表示. 例11．设3阶矩阵3维列向量，若与线性相关，求. 例12.已知向量，问为何值时，向量组线性相关、线性无关？C B A ,,n C AB =B C A n ,)0,,0,1(1T e = ,)0,,1,0(2Te =T n e )1,,0,0( =T T T )1,2,1(,)1,0,1(,)1,1,2(321--==-=ααα321,,ααα133221,,αααααα+++321,,ααα432,,ααα1α32,αα4α321,,ααα,403212221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A T a )1,1,(=ααA αa 123(1,2,1,3),(2,1,3,5),(1,17,,1)=-=-=-+-T T T a a αααa 123,,ααα授课序号03 教 学 基 本 指 标教学课题 第3章 第3节 极大线性无关组和秩 课的类型 复习、新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 向量组的极大线性无关组和向量组的秩、向量组的等价，向量组的秩与矩阵秩的关系 教学难点 求向量组的极大线性无关组及秩。