第一章复数1 i 2=-1 i = ∙, -1 欧拉公式z=x+iy实部Re Z 虚部Im Z2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2)乙Z2③=χ1 iy1 χ2 iy2X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2=X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y22 2 2 2Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2⑤z = X - iy 共轭复数z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3…把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz04如何寻找arg Zπ例：z=1-i4πz=i2πz=1+i4z=-1 π5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71例2 f Z = C 时有(C )=0可得到z=re°Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方n n in 「nZ Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z☆当丄二f Z o时，连续例1 证明f Z =Z在每一点都连续证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续3导数f Z o Jm fZ一f zoz-⅛z°Z-Z o,2n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f z = zZ—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限df(z lZ=Zo1例2 f Z = C 时有(C )=0根据C-R 条件可得2x =0,2y = 所以该函数在Z =O 处可导4解析若f z 在Z 00= X = 0,^0的一个邻域内都可导，此时称用C-R 条件必须明确u,v 四则运算 f 一 g =「- g rkf =kf f g = f g f gf Z 在Z 0处解析。

f g Z = f g g zFn n -1Z nz☆ e z = e z— f z 亠 \、z f ZC — C '证：对-Z 有Iim^Ijm所以例3证明f z = Z 不可导 解：令 一 Z-Z 0 fz -fz 0z 0 =WZ-Z 。

z-Z o z-zO eo x + ιy当；.一：0时，不存在，所以不可导。

定理： f Z = u X, y iv X, y 在 ^X iy 处可导 U u ，V 在x, y 处可微，且满足 C-R条件iu:：v$ ® Cy例4证明f Z = Z 不可导解：f z = z = X -iy 其中 u X, y = X v x,y - -y u,v 关于 x,y 可微11 不满足C-R 条件所以在每一点都不可导:X√y例 5f Z i=ReZ解：f z = ReZ=X u X, y =X vx, y=0.：u √v 二1不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导-XJy2例 6： f (z )= z解：f (z )= z $ = X 2 + y 2 其中 u(x, y)=x 2+y 2 v(x,y)=0例：证明 f z =e z e z =e z解： f z =e z = e x cosy ie x Sin y-：u X : V Xecog ecoy√x；y:U X "V X' e Sin y 「 e Sin y 任一点 ^X iy 处满足 C-R 条件 -V所以 e z 处处解析「z = -u ∙i 二v =e x cos y ie x si n y = e zCX GX练习：求下列函数的导数f(Z )= Z 2 Zu x, y = x 3 xy 2v x, y = x 2y y 3 所以 = 3x 2 y 2CXAJ=2χy ■y「2Xy:X根据 C-R 方程可得-U2.：V 2I 2=3x y = X3y-X-y:UV-2Xy - =-2xy=■ X = 0, y = 0■y CX所以当Z =：0时f Z 存在导数且导数为0,其它点不存在导数。

初等函数I 常数H 指数函数e z =e x cosy i Sin yF① 定义域 ② e z 1∙e z 2=e z ι七2③ e zd2jt = e z （cos2兀 + isin2兀）=e z ④（e z ）=e z皿对数函数 称满足的S 叫做Z 的对数函数，记作 =ln z贝H u X, y i ；=e xcosy vx,y =e xsiry 解：f(z)=∣z2 z = X 2y 2 X iy = x 3ix 2y xy 2 iy 3=X 3xy 2i x 2y y 3-V 2 X3y 2分类：类比n z 的求法(经验) 目标：寻找阀W =arg 怕幅角主值 可用：z = e ' z = re "， -U iv、」工口 i B 閃 u 钿UiVi 日Ui Aiv过程： z=re^ = e3 = e=e 、e =re* =⅛r=e,e□ = e=U =In r,v - V 2k 二 k = 0,二 1,二2所以=UiV=In r i V 2k ; =Inr izrgz = In z i argz 2k 二k = 0, _1,_2 ……例：求Ln -1 Ln 1 iLni 的值 arg -1 二■:Ln(—1 )=In _1 +i(arg(_1 )+2k 兀)=i 兀(2k +1) k = 0+1^2 ...........π arg i =C2(π、Ln (i )=In i + i(argi +2k 兀)=1+i+2k 兀 I k=0,±1,=2\2丿IV 幕函数 对于任意复数［,当z=0时例1:求i 1 'i 的值k =0, -1,_2V 三角函数Ln 1 i = I n1 i1*兀+ i(arg(1+i )+2k 兀)=In 2 + i2<42k 二 k = 0,_1,_2 :LnZ例 2：求(1—i 产=e InL )+= e G + MT=iy , -iye +e cosy =2Jy 厶』e -e Sin y =例：求 sin 1 iCOSj i解: Sin (1+i )=丄 e D —e "^*)】2icos(5 +i )=丄 et 十)+e "k F 十)】2第三章复变函数的积分1复积分定理3.1设C 是复平面上的逐段光滑曲线f Z = u X, y ］亠iv X, y 在C 上连续,fz=ux, y∙ivx,y 在 C 上 可 积 ， 且Cf ZdZ = C UX, y dx - v X, y dy i C u x, y dy v x,y dx注：①C 是线 ②方式跟一元一样 方法一：思路：复数→实化 把函数f z = U iv 与微分dz = dx ■ idy 相乘，可得Cf ZdZ = C UX, y dx - v X, y dy i C U X, y dy v X, y dxC : Zt=■ ≤t ≤ LCf ZdZ= . zt Zt dt例： 求 JZdZ ①C ： 0→ 1+i 的直线段② 0―1τ 1 ； 1― 2τ1+i C解：①C ： Zt = t it0沁乞11 H 1ZdZ= t - it t it d^ t 1 —i 1 i dt =1Cr iy 丄・・ e =CoSy +ιsιn y Jy・ ・e =CoSy —i sIny2I定义：对于任意复数 ^X iy ,由关系式可得Z 的余弦函数和正弦函数Iz JZe +ecosz =2iz . ize - eSin Z =2i方法二：参数方程法☆核心：把C 参数② C 1 : Zt = t 0 岂1C 2: Zt =1 itO _t _12柯西积分定理例:1Nin = 1 L --------- n dz =C(Z-a)J On ≠ 1C: 以a 为圆心, P 为半径的圆，方向：逆时针解:C :Z = a + Pe i^z = X +iyL 1n dz = = Γ(⅞^ndz :2兀 1fPie i ed 日 LC (z -af'0 (P e i 日)n☆积分与路径无关：①单联通 ②处处解析X = 3｛日 _sin& \ 例：求［(2z 2 +8z +1dz ,其中C 是连接O 到点(0,2Jr a )的摆线：丿— C 、y = a (1_cos T)解：已知，直线段 L 与C 构成一条闭曲线。

因 f z = 2z 2 8z 1在全平面上解析, 则2z 2 8z 1 dz = 0C —t即 i 〔2z 2 8z 1 dz = L 2z 2 8z 1 dz把函数沿曲线 C 的积分化为沿着直线段 L 上的积分。

由于2 頂■ QI2z 2 8z 1 dz2X 2 8X 1 dx = 2a 一二 2a 2 8二a 1L'0 3★关键：①恰当参数 ②合适准确带入Z3不定积分定义3.2设函数f Z 在区域D 内连续，若D 内的一个函数G Z 满足条件Z- D11tdt O 1 - it dt =T e L 忖W 1 01-ni2加O'e 1"d 1-nir =O=2 二a -■:2a 28a 1★结果不一样1 +∩2<2故8z 1 dz1Z定理3.7若可用上式，则 f z dz - G ZbgiZo乙z 0 ∙ D例：厶Oi计算I L e z dzj O解：1 Z.ZiiA[edz=e O=e -1练习： 2卡 3z 2审 计算]ze 3z +dz解： 2+ 3z 21 ι2+ 3z 22、1 / 卡 3z 24^b2 丄八如 _ 1Ze dz=— [ e d(z )=—[ ed(3z +1)= ----------22 ⅛ 6 '2 24柯西积分公式处处解析fz 在简单闭曲线 C 所围成的区域内则fa =丄f ∙zdz-.'C z _ adz Z■ I2dzi z U(9 —z 2(Z +7 )Z2-^Z dz = 2^i J Z -L i9-z注：①C : z ∙ D一次分式-Z③找到f Z f Z 在D 内处处解析解: —dz =e z -1I Zi Z _Odz = e z -1 =OZ =O例2: 解: Sin Z L 2 dz I Z GZ -1 Sin z 1 2dz IZ =2 z 2-12 |Z =2zsn⅛12 v=2 -1SnZdZ= 2 ：i Sin1Z 1cjZ- D定理例3: 解:半 9 一N-7dZi例4:, Sin z +z I 护 2zz -1dZ解IdzZ∣=22Z Z -1S Z Z2dz -I Z^ z —15解析函数的高阶导数应用要点：①z ∙ D1②一1 —；" n"广n卑-Z③精准分离I--Z调和函数■2-J g= 0则称g x, y 叫做D 内的调和函数 y f Z = u x, y iv x, y 在 D 内解析-2 2 ： 2 - 2U ：■ U : V : V 所以一22x :y Xy :x ：y把U ) V 称为共轭调和函数例:IZ IZ iSin Z2 2y dZ W z -02兀 f sinz ) =2! I 2 丿 =0Z=OS Z Z乍占dz=2∙i 中ZzO公式：f *2⅛c 七"Z- D n=1，2g χ,y 满足 Ag= —gCX第四章级数理论1复数到^Z n 恰 距离 d(z,灼)=Z -Ol谈极限 对 I z J-若有 ZoED 使得 d(z n ,z 0 )= z n -z 0, T o (n τ 临) 此时Z o 为IZj 的极限点 记作Z o = Iim Z n 或Z n —； zo n —；n _^c片F推广：对一个度量空间 x,d 都可谈极限2极限的性质X n >Xon >：： y n > y o4 i Zn'级数问题S n=Z IZ 2 Z 3 ............... Z n部分和数列性质：1若7 Z n X ■ 'n 都收敛，则7 Z nt 匚心」•- IZ^ '收敛2若一个收敛，一个发散，可推出发散 「S rl T S o 3」(∏→ o0 )斗T S on_ ：：若Σ Ia n 〈咼=⅛ Σ a n 绝对收敛若E a * = *处 但为a n 收敛，为条件收敛ZnTZ OJ（n τ 悶）=⅛ {^n T轨Z n 二’n 、Z o 二.’o3Z n =X n ∙ iy n >X oZ n r Z nZ o 「° n — ∙ ■' ：，oZ oiyo n_ ：：若 Iim S nn ——j .QO = SO=I Zn n Λ.则Z \ 收敛，反之则发散。