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复变函数总结完整版

第一章 复数1 2i =-1 1-=i 欧拉公式 z=x+iy实部Re z 虚部 Im z2运算 ①2121Re Re z z z z =⇔≡ 21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+== ⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数,几何表示iy x z += z 与平面点()y x ,一一对应,与向量一一对应辐角 当z ≠0时,向量z 和x 轴正向之间的夹角θ,记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π<0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例:z=1-i 4π-z=i2π z=1+i 4πz=-1 π5 极坐标: θcos r x =,θsin r y = ()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i ei +=可得到 θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程z n=ω的ω值称为z 的n 次方根,记作 n z =ω()n k i re z ωπθ==+2 即nr ω= nr 1=ωϕπθn k =+2 nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注:与实际情况相比,定义域,值域变化 例 ()z z f =②()A =→z f z z 0lim 0z z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限☆ 当()0z f =A 时,连续 例1证明()z z f =在每一点都连续证:()()0000→-=-=-z z z z z f z f 0z z → 所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()0000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--=' 例2 ()C z f = 时有 ()0'=C证:对z ∀有()()0lim lim00=∆-=∆-∆+→∆→∆z C C zz f z z f z z 所以()0'=C 例3证明()z z f =不可导 解:令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000 当0→ω时,不存在,所以不可导。

定理:()()()y x iv y x u z f ,,+=在iy x z +=处可导⇔u ,v 在()y x ,处可微,且满足C-R条件y v x u ∂∂=∂∂ x v y u ∂∂-=∂∂ 且()xvi x u z f ∂∂+∂∂=' 例4证明()z z f =不可导解:()iy x z z f -== 其中()x y x u =, ()y y x v -=, u,v 关于x,y 可微11-=∂∂≠=∂∂yv x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例5 ()z z f Re =解:()x z z f ==Re ()x y x u =, ()0,=y x v01=∂∂≠=∂∂yv x u 不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导 例6: ()2z z f =解:()222y x zz f +== 其中()22,y x y x u += ()0,=y x v根据C-R 条件可得02,02==y x 0,0==⇒y x 所以该函数在0=z 处可导4解析若()z f 在0z 的一个邻域内都可导,此时称()z f 在0z 处解析。

用C-R 条件必须明确u,v四则运算()g f g f '±'='± ()()()()()z g g f z g f '⋅'='()f k kf '='()1-='n nnzz()g f g f g f '⋅+⋅'='⋅ ☆()zzee='2g g f g f g f '⋅-⋅'=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 例:证明()ze zf = ()zzee='解: ()y ie y e e z f xxzsin cos +==则()y e y x u xcos ,= ()y e y x v xsin ,=y e yv y e x u x x cos cos =∂∂==∂∂ y e xvy e y u x x sin sin -=∂∂-=-=∂∂ 任一点iy x z +=处满足C-R 条件 所以ze 处处解析 ()z x x e y ie y e xvi x u z f =+=∂∂+∂∂='sin cos 练习:求下列函数的导数()z z z f ⋅=2解: ()()()()32233223222y y x i xy x iy xy y ix xiy x yx z z z f +++=+++=++=⋅=()23,xy x y x u += ()32,y y x y x v += 所以223y x xu+=∂∂ 223y x y v +=∂∂ xy yu2=∂∂ xy xv2-=∂∂-根据C-R方程可得222233y x yv y x x u +=∂∂=+=∂∂ xy xvxy y u 22-=∂∂-==∂∂ 0,0==⇒y x 所以当0=z 时()z f 存在导数且导数为0,其它点不存在导数。

初等函数Ⅰ常数Ⅱ指数函数 ()y i y e e x z sin cos +=① 定义域 ② 2121z z z ze ee +=⋅ ③ ()z z i z e i e e =+=+πππ2sin 2cos 2④()zzee ='Ⅲ对数函数 称满足ωe z =的ω叫做z 的对数函数,记作z ln =ω分类:类比n z 的求法(经验) 目标:寻找ωωϕarg =幅角主值可用:ωe z = θi re z = iv u +=ω过程:θωθi iv u iv u i e r e e e e re z =⋅====+ iv i ue e e r ==⇒θ,πθk v r u 2,ln +==⇒ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k所以()()ππθωk z i z rgz i r k i r iv u 2arg ln ln 2ln ++=A +=++=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k例:求()1-Ln ()i Ln +1 ()i Ln 的值()π=-1arg()()()()1221arg 1ln 1+=+-+-=-k i k i Ln ππ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()41arg π=+i()()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=+πππk i k i i i i Ln 242ln 2121arg 1ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k ()2arg π=i()()⎪⎭⎫⎝⎛++=++=πππk i k i i i i Ln 2212arg ln ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0kⅣ幂函数 对于任意复数α,当0≠z 时Lnz e z ααω==例1:求ii +1的值解:()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛++++++=====+ππππk i k i i i iArg i i Lni i ii eeee e i i221221ln 11ln 11⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k例2:求()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+-++-+-+===-+ππk i i i i i iee e i i242ln 2131ln 31ln 331Ⅴ三角函数⎩⎨⎧-=+=-y i y e y i y e iy iy sin cos sin cos ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--ie e y e e y iy iyiyiy 2sin 2cos 定义:对于任意复数iy x z +=,由关系式可得z 的余弦函数和正弦函数2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=例:求()i +1sin ()i +5cos 解:()()()[]i i i i e e i i +-+-=+11211sin ()()()[]i i i i e e i +-++=+55215cos第三章复变函数的积分1复积分定理 3.1 设C 是复平面上的逐段光滑曲线()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上连续,则()()()y x iv y x u z f ,,+=在C 上可积,且有()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,注:①C 是线 ②方式跟一元一样 方法一:思路:复数→实化把函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘,可得()()()()()⎰⎰⎰++-=CCCdx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,方法二:参数方程法 ☆核心:把C 参数 C :()t z βα≤≤t()()()⎰⎰'=Cdt t z t z dz z f βα例: 求⎰Cdz z ①C :0→i +1的直线段②101−→−C ;i C +−→−112解:①C : ()it t t z += 10≤≤t()()()()⎰⎰⎰=+-='+-=11111dt i i t dt it t it t dz z C②()t t z C =:1 10≤≤t()it t z C +=1:2 10≤≤t()⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=+=11012121121i i dt it tdt dz z dz z dz z C C C★ 结果不一样2柯西积分定理例:()⎰⎩⎨⎧=-Cnidz a z 021π11≠=n n C :以a 为圆心,ρ为半径的圆,方向:逆时针 解:C:θρi e a z +=iyx z +=πθ20≤≤()()()()()()()()11011121120120112020≠=⎪⎩⎪⎨⎧=--==⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰---n n i n d e i n i d e i d ie e dz e dz a z i n i n n Ci ni ni nπθπθππθθθθπθρθρρρ ☆ 积分与路径无关:①单联通 ②处处解析 例:求()⎰++Cdz z z1822,其中C 是连接O 到点()a π2,0的摆线:()()⎩⎨⎧-=-=θθθcos 1sin a y a x 解:已知,直线段L 与C 构成一条闭曲线。

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