复变小结
1.幅角（不赞成死记，学会分析）
.2
argtg 2
0,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg πππππ<<-⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏<arg z ≤∏
Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 2. 求根：
由z=θi e =r(cos θ+isin θ)得
z n =e in θ=r n (cosn θ+isinn θ) 当r=1时，
)sin (cos θθi n +=)sin (cos θθn i n + （*1） 当z w n =
w=
（*2） z arg =θ 例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解 3.复函数：
a. 一般情况下：w=f(z),
直接将z=x+iy 代换求解
但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z=θi e =r(cos θ+isin θ)代换。
)
2
22cos sin 0,1,2,,1k k n n k i n i k n θπθπθπ
+++==+=-求方根公式(牢记!):
其中。
10
(sin cos )55i ππ+
b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式:
(向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBA
c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。
d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8
4.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程
a.在某个区域内可导与解析是等价的。
但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。
b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）
c.指数函数:复数转换成三角的定义。
d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k π)
e.幂函数：底数为e 时直接运算（一般转换成三角形式） 当底数不为e 时，w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln)
能够区分： 的计算。
f.三角函数和双曲函数：
只需记住：
及 其他可自己试着去推导一下。
反三角中前三个最好自己记住，特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到
11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9)
5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz
iz iz iz ---=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos
a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。
（勿乱用）
例如: ⎰c zdz 与路径无关。
而dz z c
⎰与路径有关。
b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C 为边界的有界区域D 内解析且在闭区域上连续时：
重要公式
c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：
d.调和函数：
一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。
6.级数 ⎩⎨⎧≠==-⎰=-+.0,0,0,π2)(d ||100n n i z z z
r z z n ()d 0
C f z z =⎰)17.3(.d )(π21)(00⎰-=
C z z z z f i z f ()010!()()d (3.20)2π()1,2,n n C n f z f z z i z z n +=-=⎰。
22(,)0
x y x y ϕϕϕ∂∂+=∂∂22调和:
a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。
b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。
c. 幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。
（方法同于高数级数）
d.泰勒级数： 五个重要初等函数展开式：
其余可由式：
.1||,)1(1112<+-+-+-=+z z z z z
n n 直接推导。
（注意各展开式的[z]取值范围）
e.洛朗展开式:与泰勒展开式的主要区别在于其包含Z 的负次数方幂。
泰勒展开式是洛朗展开式的特殊形式。
（即当洛朗展开式中奇点为可去奇点时展开式为泰勒形式）
f.零点，奇点，极点
零点:即使得函数f(z)=0的点。
.,2,1,0),(!1,)()(0)(00 ==-=∑∞
=n z f n c z z c z f n n n n n 其中成立)8.4(.!!21e 2 +++++=n z z z n z )11.4()!
2()1(!4!21cos )10.4()!12()1(!5!3sin 2421253 +-+-+-=++-+-+-=+n z z z z n z z z z z n n n n
奇点：即使得函数f(z)无意义的点。
（P82定理4.18的三条关于孤立奇点的等价式实为可去奇点的特征）
奇点又分为：可去奇点，本性奇点，一般奇点。
可去奇点：即洛朗展开式中不存在Z 的负次数方幂。
本性奇点：即展开式中存在Z 的负无穷次方幂。
一般奇点：即展开式中存在Z 的有限次负次数方幂。
极点：即为奇点中除去可去奇点后的所有奇点。
极点一定是奇点，但奇点不一定是奇点。
（奇点容易判断，极点可借助P83定理4.19判断同时可以学会判断是几阶极点，对于第五章中求留数有用）
P84定理4.22：极点和零点的关系。
7.留数
a.留数定理： 利用课本P93-94三种情形及第五章中判断极点的阶数求留数 （没什么特殊方法，希望大家通过多练来掌握）
b.利用留数定理求积分： 有些情况下利用留数和定理：
更便于求解
特殊转换：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Res ]),(Res[2z z f z f c.用留数计算实积分：
01
Res[(),]()d (5.3)
2C f z z f z z i π=⎰)7.5(.]),(Res[π2d )(
1∑⎰==n
k k C z z f i z z f .0d )(π21d )(π21
]),(Res[]),(Res[1=+=+∞⎰⎰∑-=C C n
k k z z f i z z f i z z f z f ⎰π20d )sin ,(cos θ
θθR
形如：的积分，一般令z=θi e
使用条件：R(x,y)变量x，y的有理函数，并且在单位圆上分母不为零。
形如⎰+∞∞
-
x
x
R d)
(
的积分
使用条件：函数R(x)是x的有理函数, 而分母的次数至少比分子的次数高二次, 并且R(x)在实轴上没有孤立奇点时, 积分是存在的.
形如：
dx
x
f
e ix)(
⎰+∞
∞
-
的积分
使用条件:其中f(z)在Imz≥0内除可能有有限各孤立奇点外处处解析，并且当z在Imz≥0上时P104引理5.3中（5.15）式成立。
（具体理解大家可参考课本中的例题）
老师所给划题目：P22-例、P26-例、P33-3
P26-例、P33-1 P55-7（1、2）、相关例子P46-例、P47例、P55-8
P88-11（1-6）P79-80例、P89-16（2、5）P90-18（1、2、3）
P113-5、相关例子P97例、P113-6（1-5）P114-8、相关例子
以上基本上是理论的东西。
有些东西仅为个人理解，如有问题可提出来。
例题大家可参考吴林峰发到群邮箱内的试卷。
里面全部附有答案（如果找不到的可找我要）。
复变看书是作用不是很大，大家还是多做做题练习一下，效果会更好。