立体几何与空间向量（1）知识点1 空间向量的坐标运算设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，求：(1)线段AB的中点坐标和长度；(2)到A，B两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标x，y，z满足的条件．知识点2 证明线面的平行、垂直在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE.已知A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (8,1,8)，D (4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形． 证明知识点3 向量坐标的应用棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 1、O 2、O 3分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BB 1C 1C 、平面ABCD 的中心．(1)求证：B 1O 3⊥PA ； (2)求异面直线PO 3与O 1O 2所成角的余弦值；(3)求PO 2的长．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2，N 是AA 1的中点．(1)求BN 的长；(2)求BA 1，B 1C 所成角的余弦值． 解 以C 为原点建立空间直角坐标系，则知识点4 棱柱、棱锥和棱台 圆柱、圆锥、圆台和球例1：如图，用过BC 的一个平面（此平面不过D A ''）截去长方体的一个角，剩下的几何体是什么？截去的几何体是什么？请说出各部分的名称．A 'D ' B ' C '例2：观察下面三个图形，分别判断（1）中的三棱镜，（2）中的方砖，（3）中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面？其中能作为棱柱底面的分别有几对？ （1）（2）例3：请指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．知识点5：中心投影和平行投影知识、一个封闭的立方体，它的六个表面各标有F E D C B A ，，，，，这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母C B A ，，对面的字母分别为 ．例5：如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -的中心，则PAC ∆在该正方体各个面上的射影CA 'B AB 'C 'AA 'BCDB 'C 'D 'AA 'BCDEF B 'C 'D 'F 'E ' （3）ABCAD CEB ACB可能是()A ．(1)(2)(3)(4)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(2)(4)例6：一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积（单位：cm 3）为（ ）（A ）72cm 3 （B ）36cm 3 （C ）24cm 3 （D ）12cm 3例7：将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.正视图 侧视图俯视图6 446663（第6题）知识点6：平面的基本性质 完成表格位置关系 符号表示点P 在直线l 上直线AB 与直线BC 交于点B∈M 平面αl C ∉⊂AB 平面α直线l 不在平面α内例13：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，下列命题是否正确？并说明理由． ①．1AC 在平面B B CC 11内；②．若1O O 、分别为面1111D C B A ABCD 、的中心，则平面C C AA 11与平面11BDD B 的交线为1OO ； ③．由点C O A 、、可以确定平面；④．设直线⊄l 平面AC ，直线⊄m 平面C D 1，若l 与m 相交，则交点一定在直线CD 上；⑤．由点11B C A 、、确定的平面与由点D C A 、、确定的平面是同一个平面．例14：在正方体1111D C B A ABCD -中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并说明理由．A BC DOO 1A 1B 1C 1D 1ABCD D 1C 1B 1A 1例16：正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为1111C B C D 、的中点，P BD AC =⋂，Q EF C A =⋂11．求证：（1）E F B D 、、、四点共面；（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则R Q P 、、三点共线．知识点7：空间两条直线的位置关系例18：三棱锥BCD A -中，H G F E ，，，分别是DA CD BC AB ，，，的中点． （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形； （2）若BD AC =，求证：四边形EFGH 是菱形；（3）当AC 与BD 满足什么条件时，四边形EFGH 是正方形．例19：已知H G F E 、、、分别是空间四边形四条边DA CD BC AB 、、、上的点．且2==HDAHEB AE ，G F 、分别为CD BC 、的中点，求证：四边形EFGH 是梯形．ABCDPA 1B 1C 1D 1FGHABCDEBF CG D HEA知识点8：直线与平面的位置关系例24：如图， E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 求证：（1）四点E 、F 、G 、H 共面；（2）BD //平面EFGH ，AC //平面EFGH ．例25：如图，在三棱柱111C B A ABC -中，C C EF C B F BC E 111//，，∈∈，点∈M 侧面B B AA 11，点F E M ，，确定平面γ，试作出平面γ与三棱柱111C B A ABC -表面的交线．知识点9：平面与平面的位置关系例32：如图，在长方体1111D C B A ABCD -中， 求证：平面DB C 1∥平面11D AB ．A CFBEHDGCE1C1BF1ABA∙MABCDD 1A 1B 1C 1思考：如果两个平面平行，那么：（1）一个平面内的所有直线是否平行于另一个平面？（2）分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？例33：棱长为a的正方体AC1中，设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点．(1)求证：E、F、B、D四点共面；(2)求证：面AMN∥面EFBD．例34：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、D分别是B1C1与BC的中点．求证：平面A1EB//平面ADC1．例35：P是长方形ABCD所在平面外的一点，M、N两点分别是AB、PD上的中点．求证：MN∥平面PBC．A BCC1A1B1EDA BCDMNPA BD CNMAB1D C1EF一、选择题1．已知点A (x 1，y 1，z 1)，则点A 关于xOz 平面的对称点A ′的坐标为( ) A ．(－x 1，－y 1，－z 1) B ．(－x 1，y 1，z 1) C ．(x 1，－y 1，z 1) D ．(x 1，y 1，－z 1)2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)3．已知a ＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b ＝(cos θ，sin θ，1tan θ)，有a⊥b ，则θ等于( )A ．－π4 B.π4C ．2k π－π2 (k ∈Z )D ．k π－π4(k ∈Z )4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，cos 〈a ，b 〉＝89，则λ为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2555．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90° B．60° C．30° D．0°二、填空题 6．模等于27且方向与向量a ＝(1,2,3)相同的向量为________________．7．已知三个力f 1＝(1,2,3)，f 2＝(－1,3，－1)，f 3＝(3，－4,5)，若f 1，f 2，f 3共同作用于一物体上，使物体从点M 1(1，－2，1)移动到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功是________．8．已知点A (2，－5，－1)，B (－1，－4，－2)，C (λ＋3，－3，μ)在同一直线上，则λ＝________，μ＝________.三、解答题9．E ，F 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中线段A 1D ，AC 上的点，且DE ＝AF ＝13AC .求证：(1)EF ∥BD 1；(2)EF ⊥A 1D .10.,,如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB=4，点E 在CC 1上且C 1E=3EC.证明：A 1C ⊥平面BED.11：如图，在正方体1111D C B A ABCD 中，求证1BD ⊥AC ．12：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，求证：平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1．ABCDD 1A 1C 1 B 1AB CD D 1A 1C 1B 1。