向量法解立体几何立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。
一、基本工具1.数量积： cos a b a b θ⋅=2.射影公式：向量a 在b 上的射影为a bb⋅ 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系线线平行⇔两线的方向向量平行线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行⇔两面的法向量平行 2.垂直关系线线垂直（共面与异面）⇔两线的方向向量垂直 线面垂直⇔线与面的法向量平行 面面垂直⇔两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的距离为(PQ x =2.点线距离求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ，则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n⋅=即为点P 到l 的距离. 3.点面距离求点()00,P x y 到平面α的距离：方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ，计算平面α的法向量n ，计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离.四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面）线线夹角⇔两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角求线面夹角的步骤：① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ=''''AA BB AA BB ⋅⋅, 不需要用法向量。
1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos(2π-θ) = |cos<AB , n >| =AB AB n n••2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。
这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。
二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA＇=||||AB n n •略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇为过F 与a 平行的直线，在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA＇//EF ，交a ＇于A＇，则¡¯//AA n ，所以∠BAA ＇=<,BA n >（或其补角）∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA＇=||||AB n n • *其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得00n a n a n b n b ⎧⎧⊥•=⎪⎪⇒⎨⎨⊥•=⎪⎪⎩⎩ ① 解方程组可得n 。
2、求点到面的距离求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为d =||||AB n n •，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设(1,,0)n y =，下同）。
3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ，在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离d =||||AB n n • 4、求两平行平面的距离设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、B ，则平面α到平面β的距离 d =||||AB n n • 三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则1a//a n α⇔⊥ 1a a//n α⊥⇔12////n n αβ⇔ 12n n αβ⊥⇔⊥四、应用举例：例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系，则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2)于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有13301320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=⇒⇒==-++=⊥⎫⎫⎪⎬⎬⎭⎪⎭11111(1,1,2),(0,0,2),cos 3||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C nAA n AA θθθ∴=--=∴--•-===⨯∴=向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则1111cos 14||||1EC FD EC FD β•===⨯例2：如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。
（1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD是菱形，∠DAB=600，∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如图建立坐标系D-ECP ，设AD=AB=1，则PF=FD=12，， ∴ P （0，0，1），E 0，0），B12，0） ∴PB =（2，12，-1），PE = （2，0，-1）， 平面PED 的一个法向量为DC =（0，1，0） ，设平面PAB 的法向量为n =（x, y, 1)由11(,,1),1)01022(,,1)1)010x y x y xn PBn PE yx y x⎧⎧•-=--=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=•-=-=⎩⎪⎩∴n=∵DC·n=0 即DC⊥n∴平面PED⊥平面PAB（2）解：由（1）知：平面PAB的法向量为n=0, 1), 设平面FAB的法向量为n1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，12），FB=，12，-12），FE =0，-12），由111111(,,1)(,)00222222110(,,1))0022x y x y xn FBn FE yx y x⎧⎧-•-=-+=⎪⎧=⊥⎪⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⊥⎪⎪⎪⎩=-•-=+=⎩⎪⎩∴n1=（, 0, -1)∴二面角P-AB-F的平面角的余弦值cosθ= |cos<n, n1>|=11n5714nnn•=•例3：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；(Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. 解: (Ⅰ)如图建立坐标系D-ACD 1, ∵棱长为4∴A （4，0，0），B （4，4，0），P （0，4，1） ∴AP = (-4, 4, 1) , 显然DC =（0，4，0）为平面BCC 1B 1的一个法向量∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ的正弦值sin θ= |cos<AP ,DC >|=22216433334414=++• ∵θ为锐角，∴直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角θ为arcsin 43333(Ⅲ) 设平面ABD 1的法向量为n =（x, y, 1)，∵AB =（0，4，0），1AD =（-4，0，4）由n ⊥AB ，n ⊥1AD 得0440y x =⎧⎨-+=⎩ ∴ n =（1, 0, 1)，∴点P 到平面ABD 1的距离 d =322AP n n•= 例4：在长、宽、高分别为2，2，3的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是底面中心，求A 1O 与B 1C 的距离。
解：如图，建立坐标系D-ACD 1，则O （1，1，0），A 1（2，2，3），C （0，2，0）1(1,1,3)AO=--1(2,0,3)B C=--11(0,2,0)A B =设A1O与B1C的公共法向量为(,,1)n x y=，则11(,,1)(1,1,3)030(,,1)(2,0,3)0230n AO x y x yx y xn B C⎧⊥•--=-+-=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨•--=--=⊥⎩⎩⎪⎩∴33(,,1)22n=-∴ A1O与B1C的距离为d =(110,2,0||11||A B nn•===⎛例5：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点，求A1到面BDFE的距离。
解：如图，建立坐标系D-ACD1，则B（1，1，0），A1（1，0，1），E（12，1，1）∴(1,1,0)BD=--1(,0,1)2BE=-1(0,1,1)A B=-设面BDFE的法向量为(,,1)n x y=，则(,,1)(1,1,0)0011(,,1)(,0,1)01022x y x yn BDx y xn BE•--=--=⎧⎧⎧⊥⎪⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨•-=-+=⊥⎩⎪⎪⎪⎩⎩⎩∴(2,2,1)n=-∴ A1到面BDFE的距离为d =(10,1,|||3|13||A B nn•-===。